`b)` Xét $∆MBC$ và $∆MDB$ có:

`\hat{M}` chung

`\hat{MBC}=\hat{MDB}` (cùng chắn cung $BC$)

`=>∆MBC∽∆MDB(g-g)`

`=>{MB}/{MD}={MC}/{MB}`

`=>MB^2=MC.MD` (đpcm)

$\\$

$∆MBO$ vuông tại $B$

`=>OB^2=OH.OM` (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

`\qquad OB^2+MB^2=OM^2` (định lý Pytago)

`<=>OH.OM+MC.MD=OM^2` (đpcm)

$\\$

`c)` $∆MBO$ vuông tại $B$

`=>MB^2=MH.MO` (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Vì `MB^2=MC.MD` (c/m trên)

`=>MH.MO=MC.MD`

`=>{MC}/{MO}={MH}/{MD}`

Xét $∆MCH$ và $∆MOD$ có:

`\hat{M}` chung

`{MC}/{MO}={MH}/{MD}` (c/m trên)

`=>∆MCH∽MOD` (c-g-c)

`=>\hat{MHC}=\hat{MDO}`

`=>\hat{MHC}=\hat{CDO}` 

`=>`Tứ giác $CHOD$ nội tiếp (đpcm)

$MA;MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$

`=>MA=MB`

Mà $OA=OB=R$

`=>MO` là trung trực của $AB$

`I\in MO=>IA=IB`

`=>\stackrel\frown{IA}=\stackrel\frown{IB}` (liên hệ giữa dây và cung)

`=>\hat{MAI}=\hat{IAH}` 

`=>AI` là phân giác của `\hat{MAH}`

`=>{IH}/{IM}={AH}/{AM}`

Ta có: `\hat{MAH}=\hat{AOH}` (cùng phụ `\hat{OAH}`)

`=>{AH}/{AM}=cosMAH=cosAOH={OH}/{OA}={OH}/{OD}`

`=>{IH}/{IM}={OH}/{OD}\quad (1)`

Tứ giác $OHCD$ nội tiếp

`=>\hat{MCH}=\hat{DOH}`

`\qquad \hat{MHC}=\hat{MDO}` 

Mà `\hat{MDO}=\hat{DCO}`

($∆OCD$ cân do $OC=OD=R$)

`\hat{DCO}=\hat{DHO}` (cùng chắn cung $OD$)

`=>\hat{MHC}=\hat{DHO}`

`=>∆MCH∽∆DOH` (g-g)

`=> {CM}/{OD}={CH}/{OH}`

`=>{OH}/{OD}={CH}/{CM}` $(2)$

Từ `(1);(2)=>{IH}/{IM}={CH}/{CM}`

`=>CI` là phân giác của `\hat{MCH}` (đpcm)