Đáp án: (P/S: Tại ông giỏi quá nên tôi làm vắn tắt vài bước, ông tự hiểu)

$(a;b;c;d)∈\{(2;1;4;35);(2;1;5;16);(2;1;6;9);(2;1;7;5);(2;1;9;0);(2;2;1;15);(2;2;2;6);(2;2;4;0);(2;3;0;5);(2;4;0;0);(3;3;1;8);(3;0;3;0);(3;1;0;2);(4;0;0;0)$

Giải thích các bước giải:

`1=VT≤\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}=\frac{4}{a}`

$⇒a≤4$

Mà $a∈N*⇒a∈\{1;2;3;4\}$

-Nếu $a=1$ thay vào $PT$ được:

`\frac{1}{1}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+b+c+d}=1`

`⇔\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+b+c+d}=0` (vô nghiệm)

-Nếu $a=2$ thay vào $PT$ được:

`\frac{1}{2}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+b+c}+\frac{1}{2+b+c+d}=1`

`⇔\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+b+c}+\frac{1}{2+b+c+d}=\frac{1}{2}(1)`

`⇒\frac{1}{2}≤\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+b}=\frac{3}{2+b}`

`⇒2+b≤6⇒b≤4`

Mà $b∈N⇒b∈\{0;1;2;3;4\}$

+Nếu $b=0,$ thay vào $(1)$ ta được:

`\frac{1}{2}+\frac{1}{2+c}+\frac{1}{2+c+d}=\frac{1}{2}`

`⇔\frac{1}{2+c}+\frac{1}{2+c+d}=0` (vô nghiệm)

+Nếu $b=1,$ thay vào $(1)$ ta được:

`\frac{1}{3}+\frac{1}{3+c}+\frac{1}{3+c+d}=\frac{1}{2}`

`⇔\frac{1}{3+c}+\frac{1}{3+c+d}=\frac{1}{6}(2)`

`⇒\frac{1}{6}≤\frac{1}{3+c}+\frac{1}{3+c}=\frac{2}{3+c}`

`⇒3+c≤12⇒c≤9`

Lại có: `\frac{1}{6}>\frac{1}{3+c}⇒3+c>6⇒c>3`

Mà $c∈Z⇒c∈\{4;5;6;7;8;9\}$

Nếu $c=4$ thay vào $(2)$ ta được:

`\frac{1}{7}+\frac{1}{7+d}=\frac{1}{6}⇔d=35(tm)`

Nếu $c=5$ thay vào $(2)$ ta được:

`\frac{1}{8}+\frac{1}{8+d}=\frac{1}{6}⇔d=16(tm)`

Nếu $c=6$ thay vào $(2)$ ta được:

`\frac{1}{9}+\frac{1}{9+d}=\frac{1}{6}⇔d=9(tm)`

Nếu $c=7$ thay vào $(2)$ ta được:

`\frac{1}{10}+\frac{1}{10+d}=\frac{1}{6}⇔d=5(tm)`

Nếu $c=8$ thay vào $(2)$ ta được:

`\frac{1}{11}+\frac{1}{11+d}=\frac{1}{6}⇔d=\frac{11}{5}(ktm)`

Nếu $c=9$ thay vào $(2)$ ta được:

`\frac{1}{12}+\frac{1}{12+d}=\frac{1}{6}⇔d=0(tm)`

+Nếu $b=2,$ thay vào $(1)$ ta được:

`\frac{1}{4}+\frac{1}{4+c}+\frac{1}{4+c+d}=\frac{1}{2}`

`⇔\frac{1}{4+c}+\frac{1}{4+c+d}=\frac{1}{4}(3)`

`⇒\frac{1}{4}≤\frac{1}{4+c}+\frac{1}{4+c}=\frac{2}{4+c}`

`⇒4+c≤8⇒c≤4`

Lại có: `\frac{1}{4}>\frac{1}{4+c}⇒4+c>4⇒c>0`

Mà $c∈Z⇒c∈\{1;2;3;4\}$

Nếu $c=1$ thay vào $(3)$ ta được:

`\frac{1}{5}+\frac{1}{5+d}=\frac{1}{4}⇔d=15(tm)`

Nếu $c=2$ thay vào $(2)$ ta được:

`\frac{1}{6}+\frac{1}{6+d}=\frac{1}{4}⇔d=6(tm)`

Nếu $c=3$ thay vào $(2)$ ta được:

`\frac{1}{7}+\frac{1}{7+d}=\frac{1}{4}⇔d=\frac{7}{3}(ktm)`

Nếu $c=4$ thay vào $(2)$ ta được:

`\frac{1}{8}+\frac{1}{8+d}=\frac{1}{4}⇔d=(tm)`

+Nếu $b=3,$ thay vào $(1)$ ta được:

`\frac{1}{5}+\frac{1}{5+c}+\frac{1}{5+c+d}=\frac{1}{2}`

`⇔\frac{1}{5+c}+\frac{1}{5+c+d}=\frac{3}{10}(4)`

`⇒\frac{3}{10}≤\frac{1}{5+c}+\frac{1}{5+c}=\frac{2}{5+c}`

`⇒3(5+c)≤20⇒c≤\frac{5}{3}`

Mà $c∈Z⇒c∈\{0;1\}$

Nếu $c=0$ thay vào $(4)$ ta được:

`\frac{1}{5}+\frac{1}{5+d}=\frac{3}{10}⇔d=5(tm)`

Nếu $c=1$ thay vào $(4)$ ta được:

`\frac{1}{6}+\frac{1}{6+d}=\frac{3}{10}⇔d=\frac{3}{2}(ktm)`

+Nếu $b=4$ thay vào $(1)$ ta được:

`\frac{1}{6}+\frac{1}{6+c}+\frac{1}{6+c+d}=\frac{1}{2}`

`⇔\frac{1}{6+c}+\frac{1}{6+c+d}=\frac{1}{3}`

Do $c;d∈N$ nên dễ có $VT≤VP$

Dấu bằng xảy ra $⇔c=d=0(tm)$

-Nếu $a=3$ thay vào $PT$ ta được:

`\frac{1}{3}+\frac{1}{3+b}+\frac{1}{3+b+c}+\frac{1}{3+b+c+d}=1`

`⇔\frac{1}{3+b}+\frac{1}{3+b+c}+\frac{1}{3+b+c+d}=\frac{2}{3}(5)`

`⇒\frac{2}{3}≤\frac{1}{3+b}+\frac{1}{3+b}+\frac{1}{3+b}=\frac{3}{3+b}`

`⇒2(3+b)≤9⇒b≤\frac{3}{2}`

Mà $b∈N⇒b∈\{0;1\}$

+Nếu $b=0$ thay vào $(5)$ ta được:

`\frac{1}{3}+\frac{1}{3+c}+\frac{1}{3+c+d}=\frac{2}{3}`

`⇔\frac{1}{3+c}+\frac{1}{3+c+d}=\frac{1}{3}(6)`

`⇒\frac{1}{3}≤\frac{1}{3+c}+\frac{1}{3+c}=\frac{2}{3+c}`

`⇒3+c≤6⇒c≤3`

Lại có: `\frac{1}{3}>\frac{1}{3+c}⇒3+c>3⇒c>0`

Mà $c∈Z⇒c∈\{1;2;3\}$

Nếu $c=1$ thay vào $(6)$ ta được:

`\frac{1}{4}+\frac{1}{4+d}=\frac{1}{3}⇔d=8(tm)`

Nếu $c=2$ thay vào $(6)$ ta được:

`\frac{1}{5}+\frac{1}{5+d}=\frac{1}{3}⇔d=\frac{5}{2}(ktm)`

Nếu $c=3$ thay vào $(6)$ ta được:

`\frac{1}{6}+\frac{1}{6+d}=\frac{1}{3}⇔d=0(tm)`

+Nếu $b=1$ thay vào $(5)$ ta được:

`\frac{1}{4}+\frac{1}{4+c}+\frac{1}{4+c+d}=\frac{2}{3}`

`⇔\frac{1}{4+c}+\frac{1}{4+c+d}=\frac{5}{12}(7)`

`⇒\frac{5}{12}≤\frac{1}{4+c}+\frac{1}{4+c}=\frac{2}{4+c}`

`⇒5(4+c)≤24⇒c≤\frac{4}{5}`

Mà $c∈Z⇒c=0$

Thay vào $(7)$ ta được:

`\frac{1}{4}+\frac{1}{4+d}=\frac{5}{12}⇔d=2`

-Nếu $a=4$ thay vào $PT$ ta được:

`\frac{1}{4}+\frac{1}{4+b}+\frac{1}{4+b+c}+\frac{1}{4+b+c+d}=1`

`⇔\frac{1}{4+b}+\frac{1}{4+b+c}+\frac{1}{4+b+c+d}=\frac{3}{4}`

Do $b;c;d∈Z$ nên dễ thấy $VT≤VP$

Dấu bằng xảy ra $⇔b=c=d=0(tm)$

(P/S: Mệt thật sự ==')