a) Ta có: $\widehat{BKN}$

$=\frac{ \stackrel\frown{AP}+ \stackrel\frown{BN}}{2}$

$=\frac{ \stackrel\frown{PC}+ \stackrel\frown{NC}}{2}$

$=\frac{ \stackrel\frown{NP}}{2}$

$=\widehat{NBP}$

Hay $\widehat{BKN}=\widehat{NBK}$

$=>\Delta NBK$ cân tại N.

b) Chứng minh được cho: $\Delta MAI\sim\Delta BNI$

$=> \frac{AI}{NI}=\frac{MA}{BN}=>AI.BN=NI.MA(1)$

Tiếp tục chứng minh cho : $\Delta NBI\sim\Delta NMA$(nếu bạn không c/m đc thì bảo tui viết rõ nha.

$=> \frac{BI}{MA}=\frac{IN}{AN}=>IN.MA=BI.AN(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$: AI.BN=IB.AN.

c) Do $M$ là điểm chính giữa của $\stackrel\frown{AB}$ nên $NM$ là phân giác $\widehat{BNA}$ hay $NI$ là phân giác $\widehat{BNK}$

Theo câu a), $\Delta BNK$ cân tại $N$ nên $NI$ là phân giác đồng thời là đường trung trực của $BK$.

=> $IB=IK$( tính chất đường trung trực)

=> $\Delta IBK$ cân tại I=> $\widehat{IBK}=\widehat{IKB}$ hay $\widehat{IKB}=\widehat{ABP}$(3)

Do P là điểm chính giữa cung AC nên $\widehat{ABP}=\widehat{KBC}$(4)

Từ (3) và (4)=> $\widehat{IKB}=\widehat{KBC}$.

Mà 2 góc ở vị trí so le trong nên IK//BC(đpcm).