Giải:

Hình bạn tự vẽ nhé.

a) Ta có: tam giác ABC vuông tại A (gt)

=> BC là cạnh dài nhất (vì BC là cạnh huyền)

Lại có: góc ABC + góc ACB = 90 độ (định lí)

=> Góc ABC = 90 độ - góc ACB = 90 độ - 40 độ = 50 độ

Vì góc ABC > góc ACB (50 độ > 40 độ)

=> AC > AB (định lí)

Vậy AB < AC < BC.

b)Ta có: tam giác ABC vuông tại A (gt)

              DH _|_ BC tại H (gt)

=> Góc BAC = 90 độ ; góc BHD = 90 độ => Góc BAC = góc BHD = 90 độ

Vì BD là tia phân giác của góc ABC (gt)

nên góc ABD = góc CBD hay góc góc ABD = góc DBH

Xét tam giác ABD và tam giác BDH có:

Góc ABD = góc DBH (chứng minh trên)

BD là cạnh chung

Góc BAC = góc BHD = 90 độ (chứng minh trên)

=> Tam giác ABD = tam giác HBD (cạnh huyền - góc nhọn)

=> AD = DH (2 cạnh tương ứng)

Vậy ta có đpcm.

c) Gọi giao điểm của BD và CK là M

Ta có: CA _|_ BK tại A => Góc CAK = 90 độ

           CDH = 90 độ (vì DH _|_ BC tại H) 

=> Góc CAK = góc CDH

Xét tam giác ADK và tam giác CDH có:

Góc CAK = goác CDH (chứng minh trên)

AD = DH (chứng minh trên)

Góc ADK = góc CDH (2 góc đối đỉnh)

=> Tam giác ADK = tam giác HDC (g.c.g)

=> Góc DCH = góc AKD (2 góc tương ứng)  (1)

      DK = CD (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác CDK cân tại D (dấu hiệu nhận biết)

=> Góc CKD = góc DCK (định lí)  (2)

Từ (1), (2) => Góc DCH + góc DCK = góc AKD + góc CKD

=> góc HCK = góc AKC

=> góc BCK = góc BKC 

=> Tam giác BCK cân tại B (dấu hiệu nhận biết)

=> BK = AC (định lí)

Xét tam giác BKM và tam giác BCM có:

BK = AC (chứng minh trên)

Góc KBM = góc CBM (vì BD là tia phân giác góc B)

BM là cạnh chung

=> Tam giác BKM = tam giác BCM (c.g.c)

=> Góc BMK = goác BMC (2 góc tương ứng)

Lại có: góc BMK + góc BMC = 180 độ

=> Góc BMK = góc BMC = 180 độ : 2 = 90 độ

=> BD _|_ CK   (đpcm)

Đáp án:

`a,`

Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔABC` có :

`hat{A} + hat{B} + hat{C} = 180^o`

`-> hat{B} = 180^o - 90^o - 40^o`

`-> hat{B} =50^o`

Xét `ΔABC` có :

`hat{A} = 90^o, hat{B} = 50^o, hat{C} =40^o`

`-> hat{C} < hat{B} < hat{A}` (Vì `40^o < 50^o < 90^o`)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`AB < AC < BC`

$\\$

$\\$

$b,$

Xét `ΔABD` và `ΔHBD` có :

`hat{BAD} = hat{BHD} = 90^o`

`BD` chung

`hat{ABD} = hat{HBD}` (giả thiết)

`-> ΔABD = ΔHBD` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> AD = HD` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

$\\$

$c,$

Có : `CA⊥BK`

`->  CA` là đường cao của `ΔBKC`

Có : `KH⊥BC`

`-> KH` là đường cao của `ΔBKC`

Xét `ΔBKC` có :

`CA` là đường cao

`KH` là đường cao

`CA` cắt `KH` tại `D`

`-> D` là trực tâm của `ΔBKC`

`-> BD` là đường cao của `ΔBKC`

`-> BD⊥KC`