`a,CF` là phân giác `\hat{C}` $(gt)$

`⇒\hat{ACF}=\hat{BCF}`

Xét `(O)` có:

`\hat{BEF}=\hat{BCF}`(hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\mathop{BF}\limits^{\displaystyle\frown}$)

`⇒\hat{ACF}=\hat{BEF}`

`b,` Có `\hat{ACF}=\hat{BEF}` `(cmt)`

`⇒\hat{HCK}=\hat{HEK}`

Xét tứ giác `EHKC` có: `\hat{HCK}=\hat{HEK}` `(cmt)`

Mà hai góc này cùng phía, cùng nhìn dây cung `AC` dưới một góc bằng nhau

`⇒` Tứ giác `EHKC` nội tiếp

`c,` Xét `(O)` có:

`\hat{ACF}=1/2sđ` $\mathop{AF}\limits^{\displaystyle\frown}$ (góc nội tiếp chắn cung $\mathop{AF}\limits^{\displaystyle\frown}$)

`\hat{BCF}=1/2sđ` $\mathop{BF}\limits^{\displaystyle\frown}$ (góc nội tiếp chắn cung $\mathop{BF}\limits^{\displaystyle\frown}$)

`\hat{ACF}=\hat{BCF}` `(cmt)`

`⇒` $\mathop{AF}\limits^{\displaystyle\frown}=\mathop{BF}\limits^{\displaystyle\frown}$

`BE` là phân giác `\hat{B}` $(gt)$

`⇒\hat{ABE}=\hat{CBE}`

Xét `(O)` có:

`\hat{ABE}=1/2sđ` $\mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown}$ (góc nội tiếp chắn cung $\mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown}$)

`\hat{CBE}=1/2sđ` $\mathop{CE}\limits^{\displaystyle\frown}$ (góc nội tiếp chắn cung $\mathop{CE}\limits^{\displaystyle\frown}$)

`\hat{ABE}=\hat{CBE}` `(cmt)`

`⇒` $\mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown}=\mathop{CE}\limits^{\displaystyle\frown}$

Xét `(O)` có:

`\hat{FCE}=1/2sđ` $\mathop{FE}\limits^{\displaystyle\frown}$ (góc nội tiếp chắn cung $\mathop{FE}\limits^{\displaystyle\frown}$)

Hay `\hat{KCE}=1/2sđ` $\mathop{FA}\limits^{\displaystyle\frown}+\mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown}$

Xét `(O)` có:

`\hat{EKC}=1/2sđ` $\mathop{EC}\limits^{\displaystyle\frown}+\mathop{FB}\limits^{\displaystyle\frown}$ (góc có đỉnh ở trong đường tròn)

Mà `\hat{KCE}=1/2sđ` $\mathop{FA}\limits^{\displaystyle\frown}+\mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown}; \mathop{AF}\limits^{\displaystyle\frown}=\mathop{BF}\limits^{\displaystyle\frown}; \mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown}=\mathop{CE}\limits^{\displaystyle\frown}$ `(cmt)`

`⇒\hat{EKC}=\hat{KCE}`

Xét `ΔEKC` có: `\hat{EKC}=\hat{KCE}` `(cmt)`

`⇒ΔEKC` cân tại `E`

`⇒EK=EC`