Đáp án:

 `P` luôn có  `2` nghiệm

Giải thích các bước giải:

 `(x^2 - x + 1)P(x + 1) - (x^2 - x - 2)P(x + 2) = 0`

`<=> (x^2 - x + 1)P(x + 1) = (x^2 - x - 2)P(x + 2)`

Nếu `x = -1`

`=> ( (-1)^2 - (-1) + 1)P(-1 + 1) = ( (-1)^2 - (-1) - 2)P(-1 + 2)`

`3P(0) = 0 . P(1)`

`=> 3P(0) = 0`

`=> P(0)  = 0`

`=> x = 0` là nghiệm của đa thức `P(x)`

Nếu `x = 2`

`=> (2^2 - 2 + 1)P(2 + 1) = (2^2 - 2 - 2)P(2 + 2)`

`=> 3P(3) = 0 . P(4)`

`=> 3P(3) = 0`

`=> P(3) = 0`

`=> x = 3` là nghiệm của đa thức `P(x)`

Vậy đa thức `P(x)` luôn có ít nhất `2` nghiệm

Đáp án `+` Giải thích các bước:

Cho đa thức `P(x)=x^2-x+1)P(x+1)-(x^2-x-2)P(x+2)`

Cho đa thức bằng `0,` ta được:

`(x^2-x+1)P(x+1)-(x^2-x-2)P(x+2)=0`

`<=>(x^2-x+1)P(x+1)=0+(x^2-x-2)P(x+2)`

`<=>(x^2-x+1)P(x+1)=(x^2-x-2)P(x+2)`

Xét `x^2-x-2=0`

`<=>x^2-2x+x-2=0`

`<=>(x^2-2x)+(x-2)=0`

`<=>x(x-2)+(x-2)=0`

`<=>(x+1)(x-2)=0`

`<=>[(x+1=0),(x-2=0):}`

`<=>[(x=0-1),(x=0+2):}`

`<=>[(x=-1),(x=2):}`

Với `x=-1,` thay vào đa thức `P(x)=(x^2-x+1)P(x+1)=(x^2-x-2)P(x+2)`

`[(-1)^2-(-1)+1]P[(-1)+1]=[(-1)^2-(-1)-2]P[(-1)+2]`

`<=>[1-(-1)+1]P(0)=(1-(-1)-2]P(1)`

`<=>(1+1+1)P(0)=(1+1-2)P(1)`

`<=>3P(0)=0P(1)`

`<=>3P(0)=0`

`<=>P(0)=0:3`

`<=>P(0)=0/3`

`<=>P(0)=0`

`->x=0`

Với `x=2,` thay vào đa thức `P(x)=(x^2-x+1)P(x+1)=(x^2-x-2)P(x+2),` ta được:

`(2^2-2+1)P(2+1)=(2^2-2-2)P(2+2)`

`<=>(4-2+1)P(3)=(4-2-2)P(4)`

`<=>2P(3)=0P(4)`

`<=>2P(3)=0`

`<=>P(3)=0:2`

`<=>P(3)=0/2`

`<=>P(3)=0`

`->x=3`

Vậy đa thức `P(x)` luôn có `2` nghiệm