a)

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta BDC$, ta có:

+   $\widehat{AHB}=\widehat{BCD}=90{}^\circ $

+   $\widehat{ABH}=\widehat{BDC}$ (hai góc so le trong)

$\to \Delta ABH\backsim\Delta BDC\left( g.g \right)$

b)

Xét $\Delta BAH$ và $\Delta BDA$, ta có:

+   $\widehat{ABH}$ là góc chung

+   $\widehat{BHA}=\widehat{BAD}=90{}^\circ $

$\to \Delta BAH\backsim\Delta BDA\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{AB}{DB}=\dfrac{BH}{AB}$

$\to A{{B}^{2}}=DB.BH$

c)

Xét $\Delta HAD$ và $\Delta HBA$, ta có:

+   $\widehat{AHD}=\widehat{BHA}=90{}^\circ $

+   $\widehat{HAD}=\widehat{HBA}$ (cùng phụ $\widehat{ADB}$)

$\to \Delta HAD\backsim\Delta HBA\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{HA}{HB}=\dfrac{AD}{BA}$

$\to \dfrac{2AF}{2BE}=\dfrac{AD}{BA}$

$\to \dfrac{AF}{BE}=\dfrac{AD}{BA}$

Xét $\Delta AFD$ và $\Delta BEA$, ta có:

+   $\dfrac{AF}{BE}=\dfrac{AD}{BA}\left( cmt \right)$

+   $\widehat{FAD}=\widehat{EBA}$ (cùng phụ $\widehat{ADB}$)

$\to \Delta AFD\backsim\Delta BEA\left( c.g.c \right)$

d)

Có ${{S}_{\Delta DHI}}=2c{{m}^{2}}$

$\to \dfrac{1}{2}HD.HI=2$

$\to HD.HI=4$

Với $DI=\dfrac{1}{3}IC$

$\to 3DI=IC$

$\to 3DI+DI=DI+IC$

$\to 4DI=DC$

$\to \dfrac{1}{4}=\dfrac{DI}{DC}=\dfrac{DI}{AB}$

Có $AB//DI$ và $AI$ cắt $BD$ tại $H$

Theo hệ quả của định lý Ta-let

Ta có $\dfrac{IH}{AH}=\dfrac{ID}{AB}=\dfrac{1}{4}$

$\to \dfrac{IH}{IA}=\dfrac{1}{5}$

Xét $\Delta IDH$ và $\Delta IAD$, ta có:

+   $\widehat{AID}$ là góc chung

+   $\widehat{IHD}=\widehat{IDA}=90{}^\circ $

$\to \Delta IDH\backsim\Delta IAD\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{{{S}_{\Delta IDH}}}{{{S}_{\Delta IAD}}}=\dfrac{ID}{IA}\cdot \dfrac{IH}{ID}=\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{1}{5}$

$\to {{S}_{\Delta IAD}}=5{{S}_{\Delta IDH}}=5.2=10c{{m}^{2}}$

$\to \dfrac{1}{2}AD.DI=10$

$\to \dfrac{1}{2}BC\cdot \dfrac{1}{3}IC=10$   và   $\dfrac{1}{2}AD\cdot \dfrac{1}{4}DC=10$

$\to \dfrac{1}{2}BC.IC=30$   và   $AD.DC=80$

$\to {{S}_{\Delta BIC}}=30c{{m}^{2}}$   và   ${{S}_{ABCD}}=80c{{m}^{2}}$

Có ${{S}_{\Delta ABI}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{\Delta BIC}}-{{S}_{IAD}}$

$\to {{S}_{\Delta ABI}}=80-30-10$

$\to {{S}_{\Delta ABI}}=40c{{m}^{2}}$