Đáp án:

BĐT cosi 2015 số là cách dễ nhất có thể nghĩ.

Dạng của BĐT:

`x_1+x_2+....+x_2015>=2015\root{2015}{x_1.x_2......x_2015}`

Đây là cách cô mị dạy và không sao chép ;-;)

Giải thích các bước giải:

`x^2015+y^2015+z^2015=3`

`<=>2(x^2015+y^2015+z^2015)=6`

Áp dụng BĐT cosi cho 2015 số không âm ta có:

`x^2015+x^2015+\underbrace{1+1+....+1}_{2013 số}>=2015\root{2015}{x^4030}`

`=>2x^2015+2013>=2015x^2`

Hoàn toàn tương tự:

`2y^2015+2013>=2015y^2`

`2z^2015+2013>=2015z^2`

Cộng từng vế các BĐT trên ta có:

`2(x^2015+y^2015+z^2015)+6039>=2015(x^2+y^2+z^2)`

`<=>2015(x^2+y^2+z^2)<=6+6039`

`<=>2015(x^2+y^2+z^2)<=6045`

`<=>x^2+y^2+z^2<=3`

Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z=1`

Vậy `GTLN_(x^2+y^2+z^2)=3<=>x=y=z=1`

Áp dụng BĐT Cô-si cho $2014$ số dương.

$x^{2014}+\underbrace{1+1+...+1}_{\text{$2013$ số $1$}}\ge 2014\sqrt[2014]{x^{2014}.\underbrace{1.1....1}_{\text{$2013$ số $1$}}}=2014x$

$\to x^{2014}+2013\ge 2014x$
$\to x(x^{2014}+2013)\ge 2014x^{2}$

$\to x^{2015}+2013x\ge 2014x^2 \ \ (1)$

Hoàn toàn tương tự, ta có:
$y^{2015}+2013y\ge 2014y^2 \ \ (2)$
$z^{2015}+2013z\ge 2014z^2 \ \ (3)$

Cộng vế với vế của $(1),(2)$ và $(3)$ ta có:
$x^{2015}+2013x+y^{2015}+2013y+z^{2015}+2013z\ge 2014x^2+2014y^2+2014z^2$
$\to (x^{2015}+y^{2015}+z^{2015})+(2013x+2013y+2013z)\ge 2014(x^2+y^2+z^2)$
$\to 2014(x^2+y^2+z^2)\le 3+2013(x+y+z)$
Vì $x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}\ge3$ Mà $x;y;z \in N^*$
$\to x+y+z\le 3$
$\to 2014(x^2+y^2+z^2)\le 3+2013.3=6042$
$\to x^2+y^2+z^2\le 3$
Đẳng thức xảy ra $↔x=y=z=1$
Vậy $Max_{x^2+y^2+z^2}=3$ đạt được khi $x=y=z=1$