`1)`
`@` Với `m=4`

`=>` `(d): y = -x + 4`

`@`Hoành độ giao điểm của `(P)` và `(d)` là nghiệm của phương trình :

`1/2.x^2 = -x + 4`

`<=>` `(x-2).(x+4) = 0`

`<=>` $\left[\begin{matrix} x-2=0\\ x+4=0\end{matrix}\right.$ 

`<=>` $\left[\begin{matrix} x=2\\ x=-4\end{matrix}\right.$

`<=>` $\left[\begin{matrix} x=2 ⇒ y = 2 \\ x=-4 ⇒ y= 8  \end{matrix}\right.$
Vậy tọa độ giao điểm của `(P)` và `(d)` lần lượt là : `(2;2) ; (-4;8)`

`2)` 

`@`Hoành độ giao điểm của `(P)` và `(d)` là nghiệm của phương trình :

`1/2.x^2 = -x+m`

`<=>` `1/2x^2 + x -m =0`

`<=>` `x^2 + 2x -2m = 0` `(`*`)`

`*` $\Delta'$ `=` `b'^2 - ac = 1 + 2m`

`*` Để `(P)` và `(d)` cắt nhau tại `2` điểm phân biệt thì phương trình `(`*`)` có `2` nghiệm phân biệt

`<=>` $\Delta'$ `>0`

`<=>` `1 + 2m>0`

`<=>` `m>(-1)/2` 

`@` Với `m>(-1)/2` phương trình `(`*`)` có `2` nghiệm phân biệt.Theo hệ thức Vi-et ta có :

$\begin{cases} x_1+x_2 = -2\\x_1.x_2 =-2m\\ \end{cases}$

`*` Vì `(P)` cắt `(d)` tại `2` điểm phân biệt : `A(x_1;y_1=1/2.x_1^2)` và  `B(x_2;y_2=1/2.x_2^2)`

`*` Ta có : `x_1.x_2 + y_1.y_2 = 5`

`<=>``x_1.x_2 + 1/2.x_1^2 . 1/2.x_2^2 =0`

`<=>``-2m + 1/4(x_1.x_2)^2 -5= 0`

`<=>``   m^2-2m -5= 0`

$\Delta'$ `=b'^2 -ac =  6`

`=>` Phương trình có `2` nghiệm phân biệt :

`m_1 =`` (-b' +  \sqrt{\Delta'} )/a = 1 +` $\sqrt{6}$ `(tm)`

`m_2 = (-b' -  \sqrt{\Delta'})/a = 1 -` $\sqrt{6}$ `(ktm)`

Vậy `m = 1+`$\sqrt{6}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài

Đáp án  + Giải thích các bước giải:

`1)` Xét hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)`, là nghiệm của phương trình:

`=> 1/2x^2=-x+m`

`<=> 1/2x^2+x-m=0`

`<=> x^2+2x-2m=0` `(**)`

Thay `m=4` vào phương trình `(**)`, ta có:

`=> x^2+2x-8=0`

`\Delta'=1^2-(-8).1=1+8=9 >0 `

`=>` Phương trình `(**)` có `2` nghiệm phân biệt:

`x_1=(-b'-\sqrt{\Delta'})/a=(-1-\sqrt{9})/1=-1-3=-4`

`x_2=(-b'+\sqrt{\Delta'})/a=(-1+\sqrt{9})/1=-1+3=2`

Có: 

`{:(y=1/2x^2),(Với x=-4):}}`

`=> y=8`

`=> A(-4;8)`

`{:(y=1/2x^2),(Với x=2):}}`

`=> y=2`

`=> B(2;2)`

 Vậy `A(-4;8)` và `B(2;2)` là tọa độ giao điểm của `(d)` và `(P)`

`2)` Từ `(**)` ta có:

`\Delta'=1^2-(-2m)=1+2m`

Để `(**)` có `2` nghiệm phân biệt:

`\Delta' >0`

`<=> 1+2m >0`

`<=> m > -1/2`

Theo Vi`-`et, ta có:

`x_1+x_2=(-b)/a=(-2)/1=-2` `(1)`

`x_1x_2=c/a=(-2m)/1=-2m` `(2)`

Theo đề bài ta có:

`x_1x_2+y_1y_2=5`

Trong `A(x_1;y_1); B(x_2;y_2) in (P)=1/2x^2` 

`=> x_1x_2+1/2x_1^2. 1/2x_2^2=5`

`<=> x_1x_2+1/4x_1^2x_2^2=5`

`<=> x_1x_2(1+1/4x_1x_2)=5` `(3)`

Thay `(2)` vào `(3)`, ta được:

`=> (-2m)(1+1/4(-2m))=5`

`<=> (-2m)(1+(-m)/2)=5`

`<=> -2m+m^2=5`

`<=> m^2-2m-5=0`

`<=>` $\left[\begin{matrix} m=1+\sqrt{6}(tm)\\ m=1-\sqrt{6}(loại)\end{matrix}\right.$

  Vậy `m=1+\sqrt{6}` thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.