bài 4

a)xét tam giác ABC có G là trung điểm BC(gt)

E là trung điểm AB(gt)

=>EG là đường trung bình tam giác ABC(đ/n)

=>EG//AC(t/c)

mà AB vuông góc với AC(gt)

=>EG vuông góc với AB

chứng minh tương tự có GF vuông góc với AC

Xét tứ giác AEGF có

EAF=90 độ(gt)

AEG=90 độ(EG vuông góc với AB)

GFA=90 độ(GF vuông góc với AC)

=>AEGF là hình chữ nhật(dhnb)

b)Xét tứ giác BEIF có

BE//IF(cùng vuông góc với AC)

BF//EI(gt)

=>BEIF là hình bình hành(dhnb)

c)có BEIF là hình bình hành(câu b)

=>BE=IF(t/c)

Mà BE=EA(E là trung điểm AB)

=>IF=EA

mà EA=GF(AEGF là hình chữ nhật)

=>IF=GF

Xét tứ giác AGCI có

F là trung điểm AC(gt)

F là trung điểm GI(FG=IF)

=>AGCI là hình bình hành(dhnb)

mà GI vuông góc với AC(GF vuông góc với AC)

=>AGCI là hình thoi(dhnb)

d)tứ giác AGCI là hình vuông<=> góc GAI=90 độ

<=>AF=FG=FI(trung tuyến thuộc cạnh huyền)

<=>AEGF là hình vuông(AEGF là hình chữ nhật,AF=FG)

<=>tam giác ABC vuông cân tại A(Flà trung điểm AC;E là trung điểm AB)

vậy AGCI là hình vuông<=>tam giác ABC vuông cân tại A

bài 5

giải

a)Xét tứ giác DPMQ có

PDQ=90 độ(tam giác DEF vuông tại D)

DPM=90 độ(ED vuông góc với MP)

DQM=90 độ(MQ vuông góc với DF)

=>DPMQ là hình chữ nhật(dhnb)

b)DPMQ là hình vuông<=>DM là phân giác góc PDQ

<=>M nằm ở vị trí giao điểm đường phân giác DM với cạnh BC

c)có I đối xứng với M qua DE(gt)

IM cắt DE ở P

=>P là trung điểm IM

Xét tam giác DIM có

DP vuông góc với IM(I đối xứng với M qua DE)

DP là trung tuyến tam giác IDM(P là trung điểm IM)

=>tam giác IDM cân tại D(t/c)

=>ID=DM(t/c)

DP là phân giác góc IDM(t/c)

=>IDP=PDM(t/c)

chứng minh tương tự tam giác DMK có

DM=DK;DQ là phân giác góc MDK

=>MDQ=KDQ(t/c)

=>ID=DK(=DM)

có IDK=IDM+MDK=IDP+PDM+MDQ+KDQ=2(PDM+MDQ)=2.PDQ=2.90=180 độ

=>I;D;K thẳng hàng

=>I đối với K qua D(đpcm)

bài 6

giải

a)Xét tam giác ABC có E là trung điểm AC(gt)

F là trung điểm BC(gt)

=>EF là đường trung bình tam giác ABC(đ/n)

=>EF//BC(t/c)

mà BC vuông góc với AB(tam giác ABC vuông tại B)

=>EF vuông góc với BC

có ME//BC(gt)

mà AB vuông góc với BC

=>ME vuông góc với AB

Xét tứ giác BMEF có

BME =90 độ(ME vuông góc với AB)

MBF=90 độ(tam giác ABC vuông tại B)

EFB=90 độ(EF vuông góc với BC)

=>BMEF là hình chữ nhật(dhnb)

b)Xét tứ giác BAKC có

E là trung điểm AC(gt)

E là trung điểm BK(B đối xứng với K qua E)

=>BAKC là hình bình hành(dhnb)

mà ABC=90 độ(tam giác ABC vuông tại B)

=>BAKC là hình chữ nhật(dhnb)

c)Xét tứ giác BGCE có

F là trung điểm BC(gt)

F là trung điểm EG(E đối xứng với G qua F)

=>BECG là hình bình hành(dhnb)

mà BC vuông góc với GE(EF vuông góc với BC)

=>BECG là hình thoi(dhnb)

d)tứ giác BGCE là hình thoi<=>GBE=90 độ

<=>BF=EF=FG(trung tuyến thuộc cạnh huyền)

<=>BMEF là hình vuông(BMEF là hình chữ nhật;FE=BF)

<=>tam giác ABC vuông cân tại B

vậy tứ giác BECG là hình vuông <=> tam giác ABC vuông cân tại B

bài 7(hình hơi rối)

giải

xét tam giác ABC có

D là trung điểm AB(gt)

E là trung điểm AC(gt)

=>DE là đường trung bình tam giác ABC(đ/n)

=>DE//BC(t/c)

chứng minh tương tự có EF là đường trung bình tam giác ABC

=>EF//AB

Xét tứ giác BDEF có

BD//FE(FE//AB)

DE//BF(DE//BC)

=>BDEF là hình bình hành(dhnb)

b)chứng minh tương tự có DF là đường trung bình tam giác ABC

=>DF=1/2AC(t/c)

xét tam giác AKC vuông tại K có

E là trung điểm AC(gt)

=>KE=AE/EC=1/2AC(trung tuyến thuộc cạnh huyền)

=>DF=KE(=1/2AC)

xét tứ giác DEFK có

DE//KF(DE//BC)

=>DFKE là hình thang(đ/n)

mà KE=DF(cmt)

=>DEFK là hình thang cân

c)xét tam giác ABH có 

M là trung điểm AH(gt)

N là trung điểm BH(gt)

=>MN là đường trung bình tam giác ABH(đ/n)

=>MN//AB;MN=1/2AB

mà EF là đường trung bình tam giác ABC(cmt)

=>EF//AB;EF=1/2AB

xét tứ giác MNFE có

MN//EF(//AB)

MN=EF(=1/2AB)

=>MNFE là hình bình hành(dhnb)

có H là trực tâm tam giác ABC(gt)

=>CH vuông góc với AB(t/c)

mà AB//MN//FE(cmt)

CH vuông góc với MN;FE

chứng minh tương tự có ME là đường trung bình tam giác AHC

=>ME//HC(t/c)

=>ME vuông góc với MN;FE

=>MNFE là hình chữ nhật

=>MF=NE(t/c)(1)

MF cắt NE tại TĐ mỗi đường(2)

chứng minh tương tự có NP là đường trung bình tam giác BHC

=>BC//NP;NP=1/2BC(t/c)

mà DE//BC;DE=1/2BC(DE là đường trung bình tam giác ABC)

Xét tứ giác DEPN có

DE//NP(//BC)

DE=PN(=1/2BC)

=>DEPN là hình bình hành(dhnb)

Có AK vuông góc với AB(t/c)

mà BC//NP//DE(cmt)

=>AK vuông góc với NP;DE

chứng minh tương tự có pE là đường trung bình tam giác AHC

=>PE//AK(t/c)

=>PE vuông góc với NP,DE

=>NDEP là hình chữ nhật

=>NE=DP(t/c)(3)

NE cắt DP tại trung điểm mỗi đường(4)

từ (1)và(3)=>MF=NE=DP

từ(2)và(4)=>NE;DP;MF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

bài 8

thôi tạch đây mệt qué