`=>`

$a)$ Ta có:

`AH ⊥ BC`

`=> \hat{H_1}=\hat{H_2}` `(=90^o)`

Xét `\Delta ABH` và `\Delta ADH` có:

`HB=HD` (gt)

`\hat{H_1}=\hat{H_2}` `(=90^o)`

`AH` là cạnh chung

`=> \Delta ABH=\Delta ADH` `(c.g.c)`

Vậy `\Delta ABH=\Delta ADH`.

$b)$ Xét `\Delta ABH` và `\Delta EDH` có:

`HA=HE` (gt)

`\hat{H_1}=\hat{H_3}` (2 góc đối đỉnh)

`HB=HD` (gt)

`=> \Delta ABH=\Delta EDH` `(c.g.c)`

Vậy `\Delta ABH=\Delta EDH`.

$c)$ Theo phần `b`: `\Delta ABH=\Delta EDH`

`=> \hat{BAH}=\hat{HED}` (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong

`=>` $AB // DE$

Vậy $AB // DE$.

$d)$ Theo phần `a`: `\Delta ABH=\Delta ADH`

`=> AB=AD` (2 cạnh tương ứng) `(1)`

Theo phần b: `\Delta ABH=\Delta EDH`

`=> AB=DE` (2 cạnh tương ứng) `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=> AD=DE`

Xét `\Delta ADH` và `\Delta EDH` có:

`AD=DE` (cmt)

`DH` là cạnh chung

`HA=HE` (gt)

`=> \Delta ADH=\Delta EDH` `(c.c.c)`

Vậy `\Delta ADH=\Delta EDH`.