a/ Xét tứ giác $MDHE$:

$\widehat{M}=90^\circ$ (gt)

$\widehat{MDH}=90^\circ$ ($HD⊥MN$)

$\widehat{MEH}=90^\circ$ ($HE⊥MP$)

$→MDHE$ là hình chữ nhật

b/ Xét $ΔHEP$ vuông tại $E$:

$EA$ là trung tuyến ứng cạnh huyền $HP$

$→EA=HA$

Gọi $DE∩MH≡O$ mà $MDHE$ là hình chữ nhật

$→OH=OE$

Ta chứng minh được: $ΔOHA=ΔOHE(c-c-c)$

$→\widehat{OHA}=\widehat{OEA}=90^\circ$

Hay $\widehat{DEA}=90^\circ$

$→ΔDEA$ vuông tại $E$

c/ $DE=2EA→MH=2EA$ mà $A$ là trung điềm $HP$

$→E$ là trung điểm $MP$

$→HE$ là trung tuyến $MP$ mà $HE$ là đường cao $MP$

$→ΔMHP$ vuông cân tại $H$

Vì $DH=ME$ mà $ME=EP$

$→DH=EP$ 

Vì $DH⊥MN$ mà $MP⊥MN$

$→DH//MP$ hay $DH=EP$ mà $DH=EP$

$→DHEP$ là hình bình hành

$→DE//HP$ hay $DE//NP$ mà $E$ là trung điểm $MP$

$→D$ là trung điểm $MN$

Xét $ΔMHP$ vuông tại $H$

$HE$ là trung tuyến $MP$

$→HE=ME$ mà $HE=MD$

$→MD=ME$

Lại có: $EM=\dfrac{MD}{2}$, $MD=\dfrac{MN}{2}$

$→MP=MN$

$→ΔMNP$ cân tại $M$ mà $ΔMNP$ vuông tại $M$

$→ΔMNP$ vuông cân tại $M$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) Xét tam giác MNP, ta có:

ME hạ vg xuống MP(gt)

=> ME⊥MP

MD hạ vuong goc xuống MN(gt)

=> MD⊥MN

XÉt tứ giác HDME ta có:

 góc HDM = 90 độ

góc MEH = 90 độ

góc DME = 90 độ

=> HDME là hcn( 3 góc = 90 độ)

b) Xét tam giác MHP, ta có:

 góc MHP = 90 độ( MH là đường cao)

 =>góc HMP + góc HPM =90 độ

Xét Δ HEP vuông tại E:

 có EA là dtrung tuyến

 => EA=AP

  => ΔEAP cân tại A

  => góc AEP = góc APE

Cho O là giao điểm của DE và MH

 Xét hcn DHEM

có MO = EO( tc hcn)

=> ΔMEO cân tại O

=> Góc OME = góc OEM

Ta có

góc HMP + HPM = 90 dộ

mà góc HMP=OEM(cmt)

             HPM=AEP(cmt)

=> OEM + AEP= 9o dộ

=> DEA=90 độ

=> ΔDEA vuông

c) ΔMNP cần là tam giác cân tại M

=> MH là đ cao cũng là trung tuyến

=> MH =HP, => MHP cân tại H

Mà HP=2HA(A là tđ)

=> HM=2HA

=> DE = 2HA

=> DE = 2EA