`a)` Vì $AB\perp DE$ tại $H$

`=>H` là trung điểm $DE$ (đường kính vuông góc tại trung điểm dây cung)

`=>AB` là đường trung trực của $DE$

`C\in AB=>CD=CE`

`=>∆CED` cân tại $C$ (đpcm)

$\\$

`b)` $CD$ là tiếp tuyến tại $D$ của $(O)$

`=>\hat{CDO}=90°`

Xét $∆CDO$ và $∆CEO$ có:

$CO$ chung

$CD=CE$ (câu a)

$OD=OE$ (=bán kính của $(O)$)

`=>∆CDO=∆CEO(c-c-c)`

`=>\hat{CDO}=\hat{CEO}=90°`

`=>\hat{CDO}+\hat{CEO}=180°`

`=>OECD` là tứ giác nội tiếp

$\\$

`c)` 

+) Xét $∆ABD$ vuông tại $D$ có đường cao $DH$

`=>DH^2=AH.BH` (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

`=>{DH^2}/{BH^2}={AH.BH}/{BH^2}`

`=>{DH^2}/{BH^2}={AH}/{BH}` $(1)$

+) Xét $∆ADB$ và $∆DHB$ có:

`\hat{B}` chung

`\hat{ADB}=\hat{DHB}=90°`

`=>∆ADB∽∆DHB(g-g)`

`=>{AD}/{DH}={BD}/{BH}`

`=>{DH}/{BH}={AD}/{BD}` 

`=>{DH^2}/{BH^2}={AD^2}/{BD^2}`$(2)$

Từ `(1);(2)=>{AH}/{BH}={AD^2}/{BD^2}` $(3)$

+) Xét $∆ACD$ và $∆DCB$ có:

`\hat{C}` chung

`\hat{CDA}=\hat{CBD}` (cùng chắn cung $AD$)

`=>∆ACD∽∆DCB(g-g)`

`=>{AC}/{CD}={AD}/{BD}={CD}/{BC}`

`=>{AC}/{CD} . {CD}/{BC}={CD}/{BC}.{CD}/{BC}={CD^2}/{BC^2}`

`=>{AC}/{BC}={CD^2}/{BC^2}={AD^2}/{BD^2}` $(4)$

Từ `(3);(4)=>{AH}/{BH}={AC}/{BC}`

`=>AC.BH=AH.BC` (đpcm)

Đáp án: (Bạn tự vẽ hình nhé)

Giải thích các bước giải:

Ta có: $OA=OB=OE=OD$ (cùng là bán kính đường tròn $(O)$)

Đặt bán kính đường tròn $(O)$ là $R$

$a)$ Do $AB⊥DE$ tại $H$ mà $AB$ là đường kính, $DE$ là dây $(O)$

$⇒H$ là trung điểm $DE$

Xét $ΔCDE$ có:

$CH⊥DE(GT)⇒CH$ là đường cao

$H$ là trung điểm $DE(cmt)⇒CH$ là đường trung tuyến

$⇒ΔCDE$ cân tại $C(đpcm)$

$b)$ Do $ΔCDE$ cân tại $C$ (câu $a$) $⇒CD=CE$

Do $CD$ là tiếp tuyến $(O)⇒CD⊥DO$

$⇒∠ODC=90^o$

Xét $ΔCDO$ và $ΔCEO$ có:

$CD=CE(cmt)$

$CO$ chung

$DO=EO=R$

$⇒ΔCDO=ΔCEO$ (cạnh - góc - cạnh)

$⇒∠CDO=∠CEO=90^o$ ($2$ góc tương ứng)

Xét tứ giác $OECD$ có $∠CDO+∠CEO=90^o+90^o=180^o$

$⇒$ Tứ giác $OECD$ là tứ giác nội tiếp (đpcm)

$c)$ Xét $ΔODC$ vuông tại $D$; đường cao $DH$

$⇒OD^2=OH.OC=R^2$ (hệ thức lượng)

Ta có:

$AC.BH=(OC-OA)(BO+OH)$

$=(OC-R)(R+OH)$

$=OC.R+OC.OH-R^2-R.OH$

$=R(OC-OH)+R^2-R^2$

$=R.HC(1)$

$AH.BC=(OA-OH)(BO+OC)$

$=(R-OH)(R+OC)$

$=R^2+R.OC-OH.R-OH.OC$

$=R^2+R(OC-OH)-R^2$

$=R.HC(2)$

Từ $(1);(2)⇒AC.BH=AH.BC(đpcm)$