Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có $1$ số bất đẳng thức cần chứng minh sau:

`1)\frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})≥\frac{1}{x+y}(x;y>0)`

`⇔\frac{x+y}{4xy}≥\frac{1}{x+y}`

$⇔(x+y)^2≥4xy$

$⇔x+y≥2\sqrt{xy}$ (do $x;y>0$)(luôn đúng, theo bất đẳng thức Cauchy)

`2)\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}≥\frac{16}{x+y+z+t}(x;y;z;t>0)`

Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức thứ nhất, ta có:

`\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}≥\frac{4}{x+y}+\frac{4}{z+t}`

`=4(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{z+t})≥4.\frac{4}{x+y+z+t}=\frac{16}{x+y+z+t}` (đpcm)

$3)x^2+y^2+z^2≥xy+yz+xz$

$⇔x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz≥0$

$⇔2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz≥0$

$⇔(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(x^2-2xz+z^2)≥0$

$⇔(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2≥0$ (luôn đúng)

$4)3(x^2+y^2+z^2)≥(x+y+z)^2$

$⇔3x^2+3y^2+3z^2≥x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz$

$⇔2x^2+2y^2+2z^2≥2xy+2yz+2xz$

$⇔x^2+y^2+z^2≥xy+yz+xz$ (luôn đúng, theo bất đẳng thức $3$)

Dấu bằng xảy ra ở cả $4$ bất đẳng thức $⇔x=y=z=t$

Trở lại bài toán:

Áp dụng bất đẳng thức thứ $3;4$ và bất đẳng thức Cauchy ta được:

$3=a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca≥3\sqrt[3]{ab.bc.ca}=3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

$⇒\sqrt[3]{a^2b^2c^2}≤1⇒a^2b^2c^2≤1$

$⇒abc≤1$ (do $a;b;c>0$)

$9=3(a^2+b^2+c^2)≥(a+b+c)^2$

$⇒a+b+c≤3$ (do $a;b;c>0$)

Do $a;b;c>0$ nên:

`\frac{a}{ab+3}+\frac{b}{bc+3}+\frac{c}{ca+3}`

`=\frac{1}{b+\frac{3}{a}}+\frac{1}{c+\frac{3}{b}}+\frac{1}{a+\frac{3}{c}}`

`=\frac{1}{b+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}}+\frac{1}{c+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{a+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}}`

`≤\frac{1}{16}(\frac{1}{b}+\frac{1}{\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{a}})+\frac{1}{16}(\frac{1}{c}+\frac{1}{\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{b}})+\frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{\frac{1}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{c}})`

`=\frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3a+3b+3c)`

`≤\frac{1}{16}(\frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}+\frac{abc}{c}+3.3)`

`=\frac{1}{16}(ab+bc+ca+9)≤\frac{1}{16}(3+9)=\frac{3}{4}(đpcm)`

Dấu bằng xảy ra $⇔a=b=c=1$