Ta thấy phương trình đã cho có dạng $ax^2+bx+c=0$

với $\begin{cases}\\a=1 \neq 0\\ b=-2(m-1)⇒b'=-(m-1)\\c=m^2-3m\end{cases}$

$⇒pt$ đã cho là phương trình bậc 2 một ẩn $x$ 

Có $Δ'=(b')^2-ac=[-(m-1)]^2-1.(m^2-3m)$

$=m^2-2m+1-m^2+3m=m+1$

a, Phương trình cho có 2 nghiệm gọi là $x_1;x_2$ trái dấu $⇔Δ>0$ hay $m+1>0⇒m>-1$

Khi đó theo hệ thức Vi-et có:

$\begin{cases} x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2(m-1)\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-3m\end{cases}$

2 nghiệm trái dấu nên $x_1.x_2<0⇔m^2-3m<0⇔m(m-3)<0$

$⇔$\(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}m<0\\m-3>0\end{cases}\\\begin{cases}m>0\\m-3<0\end{cases}\end{array} \right.\) 

$⇔$\(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}m<0\\m>3\end{cases}\\\begin{cases}m>0\\m<3\end{cases}\end{array} \right.\)

$⇒0<m<3$

Vậy pt cho 2 no trái dấu $⇔0<m<3$

b, Phương trình cho đúng 1 nghiệm âm $⇔Δ≥0⇔m≥-1$

Ptrinh cho có đúng 1 nghiệm âm tức là có 2 trường hợp xảy ra 

TH1 2 nghiệm trái dấu Làm tương tự như câu a, theo a $0<m<3$ 

TH2 Đây là nghiệm kép nhưng nghiệm này âm khi đó $Δ=0⇔m=-1$ tuy nhiên lại trái với TH1 nên chỉ có TH1 thỏa mãn

Theo a $0<m<3$ 

Vậy $0<m<3$ t/m đề

c, Phương trình cho 1 nghiệm $=0$ $⇒x_1.x_2=0$ hay $m^2-3m=0$

$⇔m=0$ hoặc $m=3$

Với $m=0⇒x_1+x_2=2.(m-1)=2.(0-1)=-2$

Không mất tính tổng quát giả sử $x_1=0⇒x_2=-2$

Với $m=3⇒x_1+x_2=4$

Không mất tính tổng quát giả sử $x_1=0⇒x_2=4$

Vậy nghiệm còn lại là $-2$ với $m=0$ và $=4$ với $m=3$

d, Có $\begin{cases} x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2(m-1)\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-3m\end{cases}$

$⇒(x_1+x_2)^2=4.(m^2-2m+1)$

$4.x_1.x_2=4m^2-12m$

$⇒(x_1+x_2)^2-4.x_1.x_2=4m^2-8m+4-4m^2+12m=6m+4=6(m-1)+10=3.(x_1+x_2)+10$

Do $x_1+x_2=2.(m-1)$

Nên $(x_1+x_2)^2-4.x_1.x_2-3.(x_1+x_2)=10$ không phụ thuộc vào $m$

Vậy hệ thức $(x_1+x_2)^2-4.x_1.x_2-3.(x_1+x_2)$ là điều cần tìm

e, Có $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2.x_1.x_2$

Thay vào ta có: 

$x_1^2+x_2^2=[2.(m-1)]^2-2.(m^2-3m)$

$⇔4m^2-8m+4-2m^2+6m=8$

$⇔2m^2-2m-4=0$

$⇔m^2-m-2=0$

$⇔(m+1)(m-2)=0$

$⇔m=-1$ hoặc $m=2$

Vậy `m∈{-1;2}` thỏa mãn đề