$(O)$ là đường tròn ngoại tiếp $ΔABC$

Từ $A$ kẻ đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \begin{cases}OA\perp d\\\widehat{BAd} = \widehat{ACB}\quad \text{(cùng chắn $\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$)}\end{cases}$

$\to \widehat{dAB} = \widehat{DEA}$

$\to d//MN$

$\to OA\perp MN$

$\to OA$ là trung trực của $MN$ (mối quan hệ đường kính - dây cung)

$\to AM = AN$

$\to ΔMAN$ cân tại $A$

$\to \widehat{AMN} = \widehat{ANM}$

mà $\widehat{ANM} = \widehat{ABM}$ (cùng chắn $\mathop{AM}\limits^{\displaystyle\frown}$)

nên $\widehat{AMN} = \widehat{ABM}$

hay $\widehat{AME} = \widehat{ABM}$

Xét $ΔAME$ và $ΔABM$ có:

$\widehat{A}:$ góc chung

$\widehat{AME} = \widehat{ABM}\quad (cmt)$

Do đó $ΔAME \sim ΔABM\, (g.g)$

$\to \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AE}{AM}$

$\to AM^2 = AE.AB$

Giải thích các bước giải:

 +) Do $AO$ là phân giác $\widehat{MAN}$

$\to $\widehat{NAO} = $\widehat{MAO}$

+) Xét $ΔANO$ có $AO = NO$

$\to ΔANO$ cân ở $O$ $\to $\widehat{NAO} = \widehat{AON}$

Tương tự ta có : $\widehat{AMO} = \widehat{MAO}$

Do đó : $$\widehat{MAO} =\widehat{NAO} = \widehat{ANO} = \widehat{AMO}$

Nên ta dễ dàng chứng minh được $ΔNAO = ΔMAO$ $(c.g.c)$

$\to AN = AM$, $\widehat{NOA} = \widehat{MOA}$ 

+) Xét $(O)$ có : $\widehat{NOA} = \widehat{MOA}$ ( cmt )

$\to $Cung $AN = $cung $AM$

$\to \widehat{ANE} = \widehat{ABN}$ ( các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau )

Xét $ΔANE$ và $ΔABN$ có :

$\widehat{NAE}$ chung

$\widehat{ANE} = \widehat{ABN}$  ( cmt )

$\to ΔANE \sim ΔABN$ ( g.g )

$\to AN^2 = AE.AB$

$\to AM^2 = AE.AB$ ( Do $AN = AM$ )

$\to đpcm $