Lời giải gợi ý:

Gọi $M'$ là giao điểm giữa $HA$ và $BC$

Từ $B$ và $C$ lần lượt kẻ $BP$ và $CQ$ vuông góc $HA$

$\Rightarrow \widehat{P}=\widehat{Q}=90^\circ$

Xét $∆DHA$ và $∆APB$ có:

$\widehat{H}=\widehat{P}=90^\circ$

$\widehat{DAH}=\widehat{ABP}$ (cùng phụ $\widehat{BAP}$)

$AD = AB\quad (gt)$

Do đó $∆DAH=∆APB$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow AH = BP\quad (1)$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $∆EAH$ và $∆ACQ$ có:

$\widehat{H}=\widehat{Q}= 90^\circ$

$\widehat{EAH}=\widehat{ACQ}$ (cùng phụ $\widehat{CAQ}$)

$AE = AB\quad (gt)$

Do đó $∆EAH=∆ACQ$ (cạnh huyền góc nhọn)

$\Rightarrow AH = CQ\quad (2)$ (hai cạnh tương ứng)

Từ $(1)(2)\Rightarrow BP = CQ$

Xét $∆BPM'$ và $∆CQM'$ có:

$\widehat{P}=\widehat{Q}=90^\circ$ (cách dựng)

$BP = CQ\quad (cmt)$

$\widehat{PBM'}=\widehat{QCM'}$ (so le trong)

Do đó $∆BPM'=∆CQM'$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

$\Rightarrow BM' = CM'$ (hai cạnh tương ứng)

mà $M'\in BC$

nên $M'$ là trung điểm $BC$

Ta lại có: $M$ là trung điểm $BC\quad (gt)$

$\Rightarrow M\equiv M'$

$\Rightarrow M$ là giao điểm giữa $HA$ và $BC$

$\Rightarrow M\in HA$

hay $M,\, A,\,H$ thẳng hàng