Giải thích các bước giải:

1.Ta có $AM,AN$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^o$

$\to AMON$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

b.Ta có $ AM,AN$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AO\perp MN$

Lại có $I$ là trung điểm $BC\to OI\perp BC$

$\to \widehat{AHK}=\widehat{AIO}(=90^o)$

Mà $\widehat{HAK}=\widehat{OAI}$

$\to\Delta AHK\sim\Delta AIO(g.g)$

$\to\dfrac{AH}{AI}=\dfrac{AK}{AO}$

$\to AH.AO=AK.AI$

3.Ta có $\widehat{AMO}=\widehat{ANO}=\widehat{AIO}=90^o$

$\to A,M,O,I,N\in$ đường tròn đường kính $AO$

Mặt khác $AM,AN$ là tiếp tuyến của $(O)\to AM=AN$

$\to \widehat{MPN}=\dfrac12\widehat{MON}=\widehat{AON}=\widehat{AIN}$

$\to AI//MP$

$\to MP//BC$

4.Ta có $\widehat{OHK}=\widehat{OIK}=90^o$

$\to OHKI$ nội tiếp

$\to $ đường tròn ngoại tiếp $\Delta OHK$ là đường tròn ngoại tiếp $OHKI$

Ta có $AK.AI=AH.AO=AN^2=AB.AC$

$\to AK=\dfrac{AB.AC}{AI}$ không đổi

$\to K$ cố định 

$\to $ đường tròn ngoại tiếp $\Delta OHK$ đi qua $K,I$ cố định