Bài 4: 

a.

+ Xét $∆ABC$, ta có: 

$\left \{ {{AD = BC} \atop {AE = EC}} \right.$ 

⇒$DE$ là đường trung bình.

⇒$DE = \frac {1}{2}BC = 10$ cm.

b. 

+ Ta có: $D, H$ là trung điểm $AB, AC$.

⇒$DH$ là đường trung bình $∆ABC$.

⇒$DH // AC$ và $DH = \frac{AC}{2}$

+ Mà: $EA = \frac {AC}{2}

⇒$DECH$ là hình bình hành.

c. 

+ Ta có: $E$ là trung điểm $AC$

               $E$ là trung điểm $HF$ (vì $F$ đối xứng với $H$ qua $E$).

⇒$AFEH$ là hình bình hành.

+ Mà: $∆ABC$ cân tại $A$

⇒$AH$ là đường trung tuyến.

⇒$AH$ là đường cao.

⇒$\widehat{AHC} = 90°$

⇒ $AFCH$ là hình chữ nhật (đpcm).

d. 

+ Ta có: $DE$ là đường trung bình của $∆ABC$

⇒$DE // BC$ và $DE = \frac {1}{2}BC$

⇒$DE // HC$ và $DE = HC$

⇒$DBCH$ là hình bình hành.

⇒$N$ là trung điểm $EH$

+ Mà: $AHCF$ là hình chữ nhật nên $\left \{ {{AF // HC} \atop {AF = HC}} \right.$ 

⇒$\left \{ {{AF // DE} \atop {FA = DE}} \right.$ ⇒$ADEF$ là hình bình hành

+ $M$ là trung điểm $AE$

⇒$MN ⊥ DE$

⇒$MN$ là đường trung bình của $∆AEH$

⇒$MN // AH$.

+ Mà: $\left \{ {{AH ⊥ BC} \atop {DE // BC}} \right.$ ⇒$AH ⊥ DE (đpcm)$.

BÀI LÀM THAM KHẢO. NOT COPY.

Đáp án:

 Bạn tự vẽ hình nhé.

Giải thích các bước giải:

 a. Xét tam giác ABC có: 

D trung điểm AB (giả thiết)

E trung điểm AC (giả thiết)

=> DE là đường trung bình của tam giác ABC

=> DE // BC, DE = BC/2 = 20/2 = 10 (cm)

b, DE // BC, DE = BC/2

=> DE // CH, DE = CH (CH = BC/2)

=> DECH là hình bình hành

c, F đối xứng với H qua E 

=> E trung điểm HF

Lại có E trung điểm AC

=> AHCF là hình bình hành (1)

Tam giác ABC cân tại A có AH là đường trung tuyến 

=> AH cũng là đường cao

=> AH vuông góc BC

=> AHC = 90^o (2)

Từ (1) và (2) suy ra AHCF là hình chữ nhật.

d, AHCF là hình chữ nhật

=> AF = CH 

mà CH = DE (chứng minh trên)

=> AF = DE

mà AF // DE ( AF // CH // DE)

=> AFED là hình bình hành.

=> M trung điểm AE

DECH là hình bình hành

=> N trung điểm EH.

Xét tam giác AEH có

M trung điểm AE (chứng minh trên)

N trung điểm EH (chứng minh trên)

=> MN là đường trung bình của tam giác AEH

=> MN // AH.

mà AH vuông góc BC

=> MN vuông góc BC

Lại có DE // BC

=> MN vuông góc DE.

CHÚC BẠN HỌC TỐT!