Đáp án:

a) $V_{S.ABC} = \dfrac{a^3}{4}$

b) $I$ là trung điểm $SC$

$R = \dfrac{a\sqrt{15}}{4}$

Giải thích các bước giải:

a) $ΔABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ có:

$\quad \begin{cases}AB = a\\\widehat{ABC} = 60^\circ\end{cases}$

$\to \begin{cases}AC =a\sqrt3\\AH = \dfrac{a\sqrt3}{2}\end{cases}$

$\to S_{ABC} = \dfrac12AB\cdot AC = \dfrac12\cdot a\cdot a\sqrt3 = \dfrac{a^2\sqrt3}{2}$

Ta có:

$\quad SA\perp (ABC)\quad (gt)$

$\to SA\perp BC$

Lại có: $AH\perp BC\quad (gt)$

$\to BC\perp (SAH)$

$\to BC\perp SH$

Ta được:

$\quad \begin{cases}(ABC)\cap (SBC) = BC\\AH\perp BC\quad (gt)\\AH\subset (ABC)\\SH\perp BC\quad (cmt)\\SH\subset (SBC)\end{cases}$

$\to \widehat{((ABC);(SBC))} = \widehat{SHA} = 45^\circ$

$\to SA = AH.\tan45^\circ = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Do đó:

$V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}\cdot SA = \dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2} = \dfrac{a^3}{4}$

b) Gọi $I$ là trung điểm $SC$

Ta có:

$\quad BC\perp SH$ (câu a)

$\to HC\perp SH$

$\to ΔSHC$ vuông tại $H$

Lại có: $I$ là trung điểm cạnh huyền $SC$ (cách dựng)

$\to IS = IH = IC = \dfrac12SC$

Xét $ΔSAC$ vuông tại $A$ có:

$I$ là trung điểm cạnh huyền $SC$

$\to IS = IA = IC = \dfrac12SC$

Do đó: $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.AHC$ bán kính $R = \dfrac12SC$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $ΔSAC$ vuông tại $A$ ta được:

$\quad SC^2 = SA^2 + AC^2$

$\to SC^2 = \dfrac{3a^2}{4} + 3a^2$

$\to SC^2 = \dfrac{15a^2}{4}$

$\to SC = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$

$\to R = \dfrac{a\sqrt{15}}{4}$