`=>`

`a.` Ta có:

$+)$ `BD⊥AC => \hat{ADB}=\hat{D_1}=90^o`

$+)$ `CE⊥AB => \hat{AEC}=\hat{E_1}=90^o`

Vì `\Delta ABC` cân tại `A`

`=> AB=AC`

Xét `\Delta ADB` và `\Delta AEC` có:

`\hat{ADB}=\hat{AEC} (=90^o)`

`AB=AC` (cmt)

`\hat{EAC}` là góc chung

`=> \Delta ADB=\Delta AEC` (cạnh huyền _ góc nhọn)

`=> AE=AD` (2 cạnh tương ứng)

`=> \Delta AED` cân tại `A`.

Vậy `\Delta AED` cân tại `A`. 

`b.` Vì `\Delta ABC` cân tại `A`

`=> \hat{ABC}=\hat{ACB}=\frac{180^o- \hat{A}}{2} (1)`

Vì `\Delta AED` cân tại `A`

`=> \hat{AED}=\hat{ADE}=\frac{180^o-\hat{A}}{2} (2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=> \hat{AED}=\hat{ABC}`

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

`=> DE` // `BC`

Vậy `DE` // `BC`.

`c.` Theo phần `a`: `\Delta ADB=\Delta AEC`

`=> \hat{B_1}=\hat{C_1}` (2 góc tương ứng)

Ta có:

$+)$ `AE+BE=AB`

$+)$ `AD+CD=AC`

Mà `AB=AC; AE=AD`

`=> BE=CD`

Xét `\Delta EIB` và `\Delta DIC` có:

`\hat{E_1}=\hat{D_1} (=90^o)`

`BE=CD` (cmt)

`\hat{B_1}=\hat{C_1}` (cmt)

`=> \Delta EIB=\Delta DIC (g.c.g)`

`=> IB=IC` (2 cạnh tương ứng)

Vậy `IB=IC`.

`d.` Gọi `H` là giao điểm của `AI` và `BC`

Xét `\Delta AIB` và `\Delta AIC` có:

`AB=AC` (cmt)

`AI` là cạnh chung

`IB=IC` (cmt)

`=> \Delta AIB=\Delta AIC (c.c.c)`

`=> \hat{A_1}=\hat{A_1}` (2 góc tương ứng)

Xét `\Delta AHB` và `\Delta AHC` có:

`AB=AC` (cmt)

`\hat{A_1}=\hat{A_2}` (cmt)

`AH` là cạnh chung

`=> \Delta AHB=\Delta AHC (c.g.c)`

`=> \hat{H_1}=\hat{H_2}` (2 góc tương ứng)

Mà `\hat{H_1}=\hat{H_2}=180^o` (2 góc kề bù)

`=> \hat{H_1}=\hat{H_2}=180^o/2=90^o`

`=> AH⊥BC`

`=> AI⊥BC`

Vậy `AI⊥BC`.

Chúc bạn học tốt