Mặt khác $3m^2-3n^2+m-n=m^2$

$⇔3.(m-n)(m+n)+m-n=m^2$

$⇔(m-n)(3m+3n+1)=m^2$

Nhân cả 2 pt vào với nhau ta được:

$(m-n)^2.(2m+2n+1).(3m+3n+1)=(mn)^2$

Xét $(m-n)^2=0⇔m=n⇒2m^2+m=3m^2+m⇔m=0⇒n=0⇒2m+2n+1=1$ (đúng)

Xét $(m-n)^2 \neq 0$ do $(m-n)^2;(mn)^2$ là các số chính phương $∀m;n∈N$

$⇒(2m+2n+1).(3m+3n+1)$ là số chính phương

Gọi $ƯCLN(2m+2n+1;3m+3n+1)=d$

$⇒\begin{cases}2m+2n+1 \vdots d\\3m+3n+1\vdots d \end{cases}$

$⇔\begin{cases}3.(2m+2n+1) \vdots d\\2.(3m+3n+1)\vdots d \end{cases}$

$⇔\begin{cases}6m+6n+3 \vdots d\\6m+6n+2\vdots d \end{cases}$

$⇒6m+6n+3-6m-6n-2=1 \vdots d⇒d=1$

Nên $ƯCLN(2m+2n+1;3m+3n+1)=1$

$(2m+2n+1).(3m+3n+1)$ là số chính phương

$⇒(2m+2n+1); (3m+3n+1)$ là số chính phương

(đpcm)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Đến đoạn của bạn,giờ ta phải chứng minh nguyên tó cùng nhau

Gọi $ƯCLN(m-n;2m+2n+1)=d$

⇒$m-n\vdots d $

   $2m+2n+1 \vdots d$

⇒$2m-2n \vdots d$

  $2m+2n+1\vdots d$

⇒$4n+1 \vdots d(1)$

Có $(m-n)(2m+2n+1)=n^2$

mà $m-n \vdots d$

   $2m+2n +1\vdots d$

⇒$(m-n)(2m+2n+1)\vdots d^2$

⇒$n^2 \vdots d^2$

⇒$n \vdots d(2)$

Từ $(1);(2)$

⇒$1 \vdots d$

⇒$(m-n;2m+2n+1)$là nguyên tố cùng nhau

mà$ (m-n)(2m+2n+1)$là số cp

⇒$ (m-n) ; (2m+2n+1)$là số cp