Bài 1:

a, Xét `ΔAKM` và `ΔBNM`, ta có:

`AM = BN`

`\hat{KAM} = \hat{MBN}`

`\hat{AMK} = \hat{BMN}`

`⇒ ΔAKM = ΔBNM`

`⇒ KM = MN` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔCKM` và `ΔCNM`, ta có:

`KM = MN`

`\hat{CMK} = \hat{CMN}`

`CM` là cạnh chung

`⇒ ΔCKM = ΔCNM`

`⇒ \hat{CKM} = \hat{CNM}` (2 góc tương ứng)

Áp dụng bài toán phụ vào `ΔCKM` vuông tại `M` có `E` là trung điểm của `CK`

`⇒ EM = 1/2 KC = EK = EC`

`⇒ ΔEKM` cân tại `E`

`⇒ \hat{EKM} = \hat{KME}` (tính chất)

Mà `\hat{EKM} = \hat{CNM}` 

`⇒ \hat{KME} = \hat{CNM}`

Mặt khác, 2 góc này đồng vị `⇒ EM` // `BC` (đpcm)

b, Vì `AN ⊥ AB` và `BN ⊥ AB` `⇒ AK` // `BN` `⇒ \hat{AKN} = \hat{BNM}` (so le trong)

Mà `\hat{BNM} = \hat{CKM}` `⇒ \hat{AKN} = \hat{CKM}`

`ΔAKM = ΔHKM` (ch - gn) `⇒ AM = HM` (2 cạnh tương ứng)

`⇒ ΔAMH` cân tại `M`

`⇒ \hat{HAM} = \hat{AHM}`    (1)

Vì `AM = MH` và `AM = BM` `⇒ MH = BM`

`⇒ ΔBHM` cân tại `M`

`⇒ \hat{MHB} = \hat{MBH}`     (2)

(1), (2) `⇒ \hat{AHM} + \hat{MHB} = \hat{HAM} + \hat{MBH}`

Mặt khác, tổng 3 góc trong `ΔAHB` là `180^0`

`⇒ hat{AHM} + \hat{MHB} + \hat{HAM} + \hat{MBH} = 180^0`

`⇒ hat{AHM} + \hat{MHB} = \hat{HAM} + \hat{MBH} = 90^0`

`⇒ \hat{AHB} = 90^0`

`⇒ ΔAHB` vuông tại `H`  (đpcm)

Bài 2:

`a, |2x - 1| - 3x = -2`

`⇔ |2x - 1| = 3x - 2`

`⇔ 2x - 1 = 3x - 2` hoặc `2x - 1 = 2 - 3x`

`⇔ 2x - 3x = -2 + 1` hoặc `2x + 3x = 2 + 1`

`⇔ -x = -1` hoặc `5x = 3`

`⇔ x = 1` hoặc `x = 3/5`

`b, |x - 2| - |3 - x| = |x - 2| - |x - 3| ≤ |x - 2 - x + 3| = 1`

Dấu "=" xảy ra `⇔ (3 - x)(x - 2 - 3 + x) ≥ 0`

`⇔ (3 - x)(2x - 5) ≥ 0`

Từ đây ta lập bảng xét dấu như hình vẽ.

`⇔ 5/2 ≤ x ≤ 3`

Mà `x ∈ ZZ` `⇒ x = 3`

Vậy `x = 3`

`c, (x^2 - 2)(10 - x^2) > 0`

`⇔ (x^2 - 2)(x^2 - 10) < 0`

`⇔ x^2 - 2` và `x^2 - 10` trái dấu

Mà `x^2 - 2 > x^2 - 10`

`⇔ x^2 - 2 > 0` và `x^2 - 10 < 0`

`⇔ x^2 > 2` và `x^2 < 10`

Mà `x ∈ ZZ` hay `x^2 ∈ ZZ` `⇔ x^2 ∈ { 4 ; 9 }`

`⇔ x ∈ { ±2 ; ±3 }`

Vậy `x ∈ { ±2 ; ±3 }`

`d, 3x - 2y + xy = 2`

`⇔ 3x - 6 - y(2 - x) = -4`

`⇔ 3(x - 2) - y(2 - x) = -4`

`⇔ -3(2 - x) - y(2 - x) = -4`

`⇔ (2 - x)(-3 - y) = -4`

Mà `x, y ∈ ZZ` `⇒ 2 - x ; -3 - y ∈ Ư (-4) = { ±1 ; ±2 ; ±4 }`

Ta có bảng: (hình vẽ 2)

Vậy ...