Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1. a) Chứng minh $\Delta ADC=\Delta ABE$

Ta có:

$\widehat{DAB}=\widehat{EAC}\,\,\,\,\,\left( =60{}^\circ  \right)$

$\to \widehat{DAB}+\widehat{BAC}=\widehat{EAC}+\widehat{BAC}$

$\to \widehat{DAC}=\widehat{BAE}$

Xét $\Delta ADC$ và $\Delta ABE$, ta có:

$AD=AB$ ( $\Delta ABD$ là tam giác đều )

$AC=AE$ ( $\Delta ACE$ là tam giác đều )

$\widehat{DAC}=\widehat{BAE}$ ( chứng minh trên )

$\to \Delta ADC=\Delta ABE$  ( c.g.c )

1. b) Chứng minh $\widehat{DIB}=60{}^\circ $

Ta có $\widehat{DIE}$ là góc ngoài của $\Delta EIC$

$\to \widehat{DIE}=\widehat{ICE}+\widehat{IEC}$

$\to \widehat{DIE}=\widehat{ICA}+\widehat{ACE}+\widehat{IEC}$

Mà $\widehat{ICA}=\widehat{AEB}$ ( Vì $\Delta ADC=\Delta ABE$ )

Nên:$\widehat{DIE}=\widehat{AEB}+\widehat{ACE}+\widehat{IEC}$

$\to \widehat{DIE}=\left( \widehat{AEB}+\widehat{IEC} \right)+\widehat{ACE}$

$\to \widehat{DIE}=\widehat{AEC}+\widehat{ACE}$

$\to \widehat{DIE}=60{}^\circ +60{}^\circ $

$\to \widehat{DIE}=120{}^\circ $

$\to \widehat{DIB}=180{}^\circ -120{}^\circ $ ( Vì $\widehat{DIB}$ và $\widehat{DIE}$ là hai góc kề bù )

$\to \widehat{DIB}=60{}^\circ $

c)

Ta có $\Delta ADC=\Delta ABE$ ( chứng minh trên )

$\to AM=AN$ ( 2 đường trung tuyến tương ứng bằng nhau )

$\to \Delta AMN$ là tam giác cân tại $A$

$MC=\frac{CD}{2}$ ( $M$ là trung điểm $CD$ )

$NE=\frac{BE}{2}$ ( $N$ là trung điểm $BE$ )

Mà $CD=BE$ ( $\Delta ADC=\Delta ABE$ )

$\to MC=NE$

Xét $\Delta AMC$ và $\Delta ANE$, ta có:

$\begin{cases}AM=AN\\AC=AE\\MC=NE\end{cases}$

$\to \Delta AMC=\Delta ANE$

$\to \widehat{MAC}=\widehat{NAE}$

Ta có:

$\widehat{MAN}=\widehat{MAC}+\widehat{CAN}$

$\widehat{MAN}=\widehat{NAE}+\widehat{CAN}$

$\widehat{MAN}=\widehat{CAE}$

$\widehat{MAN}=60{}^\circ $

$\Delta AMN$ cân tại $A$ có $\widehat{MAN}=60{}^\circ $

$\to \Delta AMN$ là tam giác đều