Bài 1.

`A=4^{27}+4^{2016}+4^n`

Xét `n\ge 27`

`A=4^{27} . (4^{n-27} +4^{1989}+1)`

`A=(2^{27})^2 . (4^{n-27} +4^{1989}+1)`

Vì `(2^{27})^2` là số chính phương nên để $A$ là số chính phương thì $B=4^{n-27} +4^{1989}+1$ là số chính phương.

Ta có:

`B=(2^{n-27})^2 +2^{3978}+1`

`B=(2^{3977+n-4004})^2+2.2^{3977}+1`

+) Nếu `n=4004` thì: $n-4004=0$

`B=(2^{3977})^2+2.2^{3977}+1`

`B=(2^{3977}+1)^2`

`=>n=4004` thì $B$ là số chính phương 

+) Nếu `n>4004=>n-4004>0`

`=>B>(2^{3977+n-4004})^2` $(1)$

`\qquad 2.2^{3977}<2.2^{3977+n-4004}`

`=>B<(2^{3977+n-4004})^2+2.2^{3977+n-4004}+1`

`=>B<(2^{3977+n-4004}+1)^2` $(2)$

Từ `(1);(2)=>(2^{3977+n-4004})^2<B<(2^{3977+n-4004}+1)^2`

`=>n>4004` thì $B$ không là số chính phương 

Vậy số nguyên dương lớn nhất thỏa đề bài là $n=4004$

$\\$

Bài 2.

Ta có:

`\qquad 2x^2+3x+2=2(x^2+2. x. 3/ 4 +9/{16})+7/ 8`

`=2(x+3/ 4)^2+7/ 8 \ge 7/ 8>0 \forall x`

`=>x^3+2x^2+3x+2>x^3`

`=>y^3>x^3` $(1)$

Ta lại có:

`4x^2+9x+6=(4x^2+2.2x. 9/ 4 +{81}/{16})+{15}/{16}`

`=(2x+9/ 4)^2+{15}/{16}\ge {15}/{16}>0\ \forall x`

`=>(x^3+2x^2+3x+2)+(4x^2+9x+6)> x^3+2x^2+3x+2`

`=>x^3+6x^2+12x+8>x^3+2x^2+3x+2`

`<=>(x+2)^3>y^3` $(2)$

Từ `(1);(2)=>x^3<y^3<(x+2)^3`

`=>y^3=(x+1)^3`

`<=>x^3+2x^2+3x+2=x^3+3x^2+3x+1`

`<=>x^2=1`

$⇔\left[\begin{array}{l}x=1\\x=-1\end{array}\right.$$⇒\left[\begin{array}{l}y=x+1=2\\y=x+1=0\end{array}\right.$ 

Vậy cặp số nguyên `(x;y)` thỏa đề bài là: $(1;2);(-1;0)$

$\\$

Bài 3.

Ta có:

`\qquad 16x^4-32x^3+24x^2+ax+b`

`=16x^4-32x^3+20x^2+4x^2+ax+b`

`=4x^2 .(4x^2-8x+5)+(4x^2+ax+b)`

Vì `4x^2 .(4x^2-8x+5)` chia hết cho `(4x^2-8x+5)`

`=>` Để $(16x^4-32x^3+24x^2+ax+b)$ chia hết $(4x^2-8x+5)$ thì: $ax+b=-8x+5$

$⇒\begin{cases}a=-8\\b=5\end{cases}$

Vậy $a=-8;b=5$