Câu 1.

`a)` Ta có: `\hat{ACD}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét $∆BAH$ và $∆DAC$ có:

`\hat{AHB}=\hat{ACD}=90°`

`\hat{ABH}=\hat{ADC}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)

`=>∆BAH∽∆DAC(g-g)` (đpcm)

$\\$

`b)` Vì $I$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$

`=>\stackrel\frown{IB}=\stackrel\frown{IC}`

`=>\hat{BAI}=\hat{CAI}` (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

`<=>\hat{BAH}+\hat{HAI}=\hat{DAC}+\hat{DAI}` $(1)$

Mà $∆BAH∽∆DAC$ (câu a)

`=>\hat{BAH}=\hat{DAC}` $(2)$

Từ `(1);(2)=>\hat{HAI}=\hat{DAI}`

`=>AI` là phân giác của `\hat{HAD}` (đpcm)

$\\$

`c)` Ta có: `\hat{AKD}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>AK`$\perp DK$

`=>AH`$\perp DK$

Ta lại có $AH\perp BC$

`=>DK`//$BC$

`=>BCDK` là hình thang $(3)$

Ta có:

`\hat{ACD}=90°=>\hat{ACB}+\hat{BCD}=90°`

Mà `\hat{ACB}+\hat{CAK}=90°` ($∆AHC$ vuông tại $H$)

`=>\hat{BCD}=\hat{CAK}`

Ta lại có:

`\hat{CAK}=\hat{CBK}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CK$)

`=>\hat{BCD}=\hat{CBK}` $(4)$

Từ `(3);(4)=>BCDK` là hình thang cân hay $B;C;D;K$ là $4$ đỉnh của hình thang cân. (đpcm)

$\\$

Câu 2.

+) Dạng chuyển động

Bài toán:

1 ô tô và 1 xe máy khởi hành cùng 1 lúc từ điểm A và B cách nhau $200km$ đi ngược chiều và gặp nhau sau $2$ giờ .Tính vận tốc của ô tô và xe máy , biết rằng vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là $20km/h$

Giải

Gọi $x;y$(km/h) lần lượt là vận tốc của ô tô và xe máy $(x>20;y>0)$

(Vận tốc đk chỉ cần >0, nhưng vận tốc ô tô lại lớn hơn xe máy 20km/h, nên x>20)

Vì vận tốc vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là $20$km/h nên: $x-y=20$ $(1)$

Sau $2$ giờ:

*Ô tô đi được: $2x$ (km)

*Xe máy đi được: $2y$ (km)

(Ngược chiều: khi gặp nhau tổng quãng đường 2 xe đi được bằng $AB$

A(oto)↦_____________C(gặp)______↤B(xmáy)

Hai xe gặp nhau sau $2$ giờ nên ta có:

$\qquad 2x+2y=200$

`<=>x+y=100` $(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có hpt:

$\begin{cases}x-y=20\\x+y=100\end{cases}$ $⇔\begin{cases}x=20+y\\20+y+y=100\end{cases}$

$⇔\begin{cases}x=20+y\\2y=80\end{cases}$

$⇔\begin{cases}x=60\\y=40\end{cases}$

Vậy vận tốc ô tô là $60$km/h; vận tốc xe máy là $40$km/h

$\\$

+) Dạng làm việc chung riêng

Bài toán: 

Hai người làm chung một công việc trong $8$ ngày thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong $4$ giờ rồi nghỉ, người thứ hai tiếp tục làm trong $8$ giờ thì chỉ hoàn thành `2/ 3` công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người mất bao lâu thì xong công việc

Giải.

Gọi $x;y$ (giờ) lần lượt là thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm riêng thì xong công việc. $(x>y>8)$

(Dạng này đk ko cần thiết `\in N`*, vì đôi lúc đề bài ra kết quả phân số; thời gian làm riêng mỗi người phải nhiều hơn thời gian hai người làm chung, nên cần >8⇒x;y>8)

Trong $1$ ngày:

+) Người thứ nhất làm được: `1/x` công việc

+) Người thứ hai làm được: `1/y` công việc

Hai người làm chung một công việc trong $8$ ngày thì xong nên:

`8/x+8/y=1`  

(1 là chỉ một công việc; hoặc có thể viết `1/x+1/y=1/ 8`)

`<=>1/x+1/y=1/ 8` $(1)$

(chỉ viết dòng ⇔ dưới cũng đc)

Nếu người thứ nhất làm trong $4$ giờ rồi nghỉ, người thứ hai làm trong $8$ giờ thì hoàn thành `2/ 3` công việc nên:

`4/x+8/y=2/ 3<=>1/ x + 2/ y=1/ 6` $(2)$

(chia 2 vế cho 4)

Từ $(1);(2)$ có hpt:

$\quad \begin{cases}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{6}\end{cases}$

$⇔\begin{cases}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8}\\\dfrac{2}{y}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{8}\end{cases}$ 

$⇔\begin{cases}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{y}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{24}\end{cases}$

$⇔\begin{cases}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{24}\end{cases}$

$⇔\begin{cases}x=12\\y=24\end{cases}$

Vậy:

+) Người thứ nhất làm riêng xong công việc trong $12$ ngày

+) Người thứ hai làm riêng xong công việc trong $24$ ngày

______

Điều kiện còn tùy thuộc vào đề bài có thêm dữ kiện khác nữa, nên cách làm chỉ tương đối thôi nhé.