Đáp án:

a)

Xét $\triangle ABC$ có:

$AB^2+AC^2=BC^2$ (vì $6^2+8^2=10^2$ (định lý pitago)

$\Rightarrow \triangle ABC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=60^0$

b)

Xét $\triangle ABM$ và $\triangle NBM$ có

$\widehat{BAM}=\widehat{BNM}=90^0$

$BM$ chung

$\widehat{ABM}=\widehat{NBM}$ (do $BM$ là phân giác)

$\Rightarrow \triangle ABM=\triangle NBM$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow BA=BN$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow \triangle ABN$ là tam giác cân tại $B$

mà $\widehat{ABC}=60^0$

$\Rightarrow \triangle ABN$ là tam giác đều

c)

Ta có: 

$\widehat{BAN}+\widehat{NAC}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{NAC}=30^0$

$\Rightarrow \widehat{NAC}=\widehat{ACB}=30^0$

$\Rightarrow \triangle ANC$ cân tại $N$

$\Rightarrow NA=NC$

mà $NA=NB$ (do $\triangle ABN$ đều)

$\Rightarrow NB=NC$

$\Rightarrow N$ là trung điểm của $BC$

mà $MN\bot BC$

$\Rightarrow MN$ là đường trung trực của $\triangle ABC$