a) vì $\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow AB = AC$

Xét $\Delta AB{\text{D}} $ và $ \Delta AC{\text{E}}$ ,ta có:

$ AB = AC \\ \widehat {A{\text{D}}B} = \widehat {AC{\text{E}}}( = {90^ \circ }) \\ $

$\widehat A$ là góc chung

$ \Rightarrow \Delta AB{\text{D}} = \Delta AC{\text{E}}$

$ \Rightarrow B{\text{D}} = CE$

b) $ \Delta AB{\text{D}} = \Delta AC{\text{E}} \\ \Rightarrow A{\text{E}} = A{\text{D}} \\ \Rightarrow EB = DC \\ $

Xét $\Delta HEB $ và $ \Delta H{\text{D}}C$ ,ta có:

$ EB = DC \\ \widehat {EHB} = \widehat {DHC} \\ \widehat {HEB} = \widehat {H{\text{D}}C}( = {90^ \circ }) \\ $

$\Rightarrow \Delta HEB = \Delta H{\text{D}}C$

$ \Rightarrow HB = HC$

$\Rightarrow \Delta BHC$ cân tại $H$

c)$AB=AC$

$\Rightarrow A$ cách đều $C$ và $C$

$HB=HC(cmt)$

$\Rightarrow H$ cách đều $B$ và $C$

Vậy $AH$ là trung trực của $BC

d) $ B{\text{D}} = DK(gt) \\ B{\text{D}} = CE \\ \Rightarrow DK = CE \\ $

Xét $\Delta DKC $ và $ \Delta ECB$ ,ta có:

$ DK = CE \\ DC = BE \\ \widehat {K{\text{D}}C} = \widehat {CEB}( = {90^ \circ }) \\ $

$\Rightarrow \Delta DKC = \Delta ECB$

$ \Rightarrow \widehat {DKC} = \widehat {ECB}$