Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{APH}=\widehat{ANH}=90^o$

$\to APHN$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

b.Xét $\Delta ANB,\Delta APC$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{ANB}=\widehat{APC}(=90^o)$

$\to \Delta ABN\sim\Delta ACP(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AN}{AP}$

$\to AN\cdot AC=AP\cdot AB$

c.Ta có: 

$\widehat{PBN}=\widehat{ABN}=90^o-\widehat{BAN}=90^o-\widehat{PAC}=\widehat{ACP}=\widehat{PCN}$

a,   Ta có: góc APH = 90 độ (CP là đường cao)
  ⇒ Điểm P thuộc đường tròn đường kính AH  (1)
      Ta lại có: góc ANH = 90 độ (BH là đường cao)
  ⇒ Điểm N thuộc đường tròn đường kính AH  (2)
   Từ (1) và (2) ⇒ 4 điểm A, P, H, N cùng thuộc 1 đường tròn
                     hay tứ giác APHN nội tiếp
b,   Xét ΔAPC và ΔANB có:
   góc PAN chung
   góc APC = góc ANB = 90 độ (CP, BN là các đường cao)
     Do đó: ΔAPC đồng dạng với ΔANB (g.g)
    ⇒ $\frac{AP}{AN}$ = $\frac{AC}{AB}$ 
    ⇒ AP.AB=AN.AC
c,   Nối P với N, ta được tứ giác BCNP
   Ta có: góc BPC = 90 độ (CP là đường cao)
  ⇒ Điểm P thuộc đường tròn đường kính BC  (3)
      Ta lại có: góc BNC = 90 độ (BN là đường cao)
  ⇒ ĐIểm N thuộc đường tròn đường kính BC  (4)
   Từ (3) và (4) ⇒ 4 điểm B, C, N, P cùng thuộc 1 đường tròn
                     hay tứ giác BCNP nội tiếp
                    ⇒ góc PBN = góc PCN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung PN)