a) AB = AC 

Xét ΔABD và ΔACE có:

    ∠A là góc chung

     AB = AC (ΔABC cân tại A)

 ⇒ ΔABD = ΔACE (cạnh huyền- góc nhọn)

 ⇒ AE = AD (2 cạnh tương ứng)

 ⇒  ΔADE cân tại A

b) Ta có: ∠AED = ∠ADE (ΔADE cân tại A)

Lại có: ∠A + ∠AED + ∠ADE = 180 độ ( định lí)

⇒ ∠AED = ∠ADE = $\frac{180 - ∠A }{2}$ (1)

Ta có: ∠ABC = ∠ACB (ΔABC cân tại A)

Lại có: ∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180 độ ( định lí)

⇒ ∠ABC = ∠ACB = $\frac{180 - ∠A }{2}$  (2)

Từ 1 và 2 ⇒ ∠AED = ADE = ∠ABC = ACB = $\frac{180 - ∠A }{2}$

mà ∠AED và ∠ABC là hai góc đồng vị

⇒ DE//BC (dấu hiệu)

c) Ta có: ∠ABC = ∠ABI + ∠IBC

              ∠ACB = ∠ACI + ∠ICB 

mà ∠ABC = ∠ACB (cmt) 

      ∠ABI = ACI (ΔABD = ΔACE)

⇒  ∠IBC = ∠ICB

⇒ ΔIBC cân tại I 

⇒ IB = IC

d)  Xét ΔABI và ΔACI có: 

AI là cạnh chung

∠ABI = ACI (ΔABD = ΔACE)

AB = AC(cmt)

⇒ ΔABI = ΔACI (c - g- c)

⇒ ∠BAI = ∠CAI (2 góc tương ứng)

Gọi giao điểm của AI và BC là O

Xét ΔABO và ΔACO có: 

AI là cạnh chung

∠BAI = ∠CAI (cmt)

AB = AC(cmt)

⇒ ΔABO = ΔACO (c - g- c)

⇒ ∠AOB = ∠AOC (2 góc tương ứng)

mà ∠AOB + ∠AOC = 180 (kề bù)

⇒ ∠AOB = ∠AOC = 90

⇒ AI ⊥ BC