`a)` `AM` là trung tuyến `\DeltaABC` vuông tại `A` (gt)

`=>AM=BM=CM=1/ 2 BC`

`=>\Delta ABM` cân tại $M$

`=>\hat{BAM}=\hat{ABM}` (đpcm)

$\\$

`b)` Vì `AM=CM` (câu a)

`=>\Delta ACM` cân tại `M`

`=>\hat{CAM}=\hat{ACM}=\hat{ACB}\ (1)`

Mà `\hat{CAM}+\hat{EAM}=\hat{EAC}=90°`

`\qquad \hat{AEM}+\hat{EAM}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>\hat{CAM}=\hat{AEM}=\hat{AE F}\ (2)`

Từ `(1);(2)=>\hat{ACB}=\hat{AE F}` (đpcm)

`=>\hat{FCM}=\hat{BEM}`

$\\$

Xét `\Delta MBE` và `\Delta MFC` có:

`\qquad \hat{BEM}=\hat{FCM}` (c/m trên)

`\qquad \hat{BME}=\hat{FMC}` (hai góc đối đỉnh)

`=>\Delta MBE` $\backsim$ `\Delta MFC`(g-g) (đpcm)

$\\$

`c)` Xét `\Delta ABC` và `\Delta AFE` có:

`\qquad \hat{BAC}=\hat{FAE}=90°` 

`\qquad \hat{ACB}=\hat{AE F}` (câu b)

`=>\Delta ABC` $\backsim$ `\Delta AFE`(g-g) 

`=>{AB}/{A F}={AC}/{AE}`

`=> AB.AE=AC.A F` (đpcm)

$\\$

`d)` `\Delta MBE` $\backsim$ `\Delta MFC`(câu b)

`=>\hat{MBE}=\hat{MFC}`

`=>180°-\hat{MBE}=180°-\hat{MFC}`

`=>\hat{ABH}=\hat{A FM}`

$\\$

Xét `\Delta ABH` và `\Delta AFM` có:

`\qquad \hat{AHB}=\hat{AMF}=90°` 

`\qquad \hat{ABH}=\hat{AFM}` (c/m trên)

`=>\Delta ABH` $\backsim$ `\Delta AFM`(g-g) 

`=>{AB}/{A F}={AH}/{AM}\ (3)`

$\\$

Xét `\Delta AHM` và `\Delta AMI` có:

`\qquad \hat{A}` chung 

`\qquad \hat{AHM}=\hat{AMI}=90°` 

`=>\Delta AHM` $\backsim$ `\Delta AMI`(g-g) 

`=>{AH}/{AM}={AM}/{AI}\ (4)`

$\\$

Từ `(3);(4)=>{AB}/{A F}={AM}/{AI}`

Vì `\Delta ABC` $\backsim$ `\Delta AFE` (câu c)

`=>{S_{ABC}}/{S_{A FE}}=({AB}/{A F})^2` (tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng)

`=>{S_{ABC}}/{S_{A FE}}=({AM}/{AI})^2` (đpcm)