Gọi ` ƯCLN( 3n - 4 ; 5n - 7 ) = d ( d ∈ Z , d \ne 0 )`

Ta có `: 3n - 4 vdots d`

          `5n - 7 vdots d`

`⇒ 5 . ( 3n - 4 ) vdots d`

    `3 . ( 5n - 7 ) vdots d`

`⇒ 15n - 20 vdots d`

    `15n - 21 vdots d`

`⇒ ( 15n - 20 ) - ( 15n - 21 ) vdots d`

`⇒ 15n - 20 - 15n + 21 vdots d`

`⇒ 1 vdots d`

`⇒ d ∈ Ư( 1 ) = { 1 ; - 1 }`

Mà cần tìm `d` lớn nhất `⇒ d = 1`

Do `d = 1 ⇒ ( 3n - 4 )/( 5n - 7 )` là phân số tối giản 

Gọi ` ƯCLN(3n-4 ; 5n-7)` là `d` 

Vì `d ∈ Ư(3n-4)`

`=>` `3n-4` `\vdots` `d`

`=>` `5(3n-4)` `\vdots` `d`

`=>` `15n-20` `\vdots` `d`

Vì `d ∈ Ư(5n-7)`

`=>` `5n-7` `\vdots` `d`

`=>` `3(5n-7)` `\vdots` `d`

`=>` `15n-21` `\vdots` `d`

`=>` `(15n-20)-(15n-21)` `\vdots` `d`

`=>` `15n-20-15n+21` `\vdots` `d`

`=>` `1` `\vdots` `d` `->` `d=1`

Mà phân số có ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số bằng `1` là phân số tối giản

`=>` `(3n-4)/(5n-7)` là phân số tối giản

____________________________

  Áp dụng:

+ Nếu `a` `\vdots` `c` ; `b` `\vdots` `c`

 `=>` `a+b` `\vdots` `c` ; `a-b` `\vdots` `c`