Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên : $∠ABC = ∠ACB$

                                             $  ⇔∠NBC = ∠ MCB$

Xét $Δ CNB( ⊥ N )$ và $Δ BMC( ⊥ N )$ có: 

     $ BC$ là cạnh chung $(  GT )$

      $∠NBC = ∠ MCB$ ( chứng minh )

$⇒ Δ CNB = Δ BMC$ ( cạnh huyền góc nhọn )

$⇔ NB = MC$ $($ $2$ cạnh tương ứng $)$ ( 1 )

Ta lại có : $Δ ABC$ cân tại $A ⇔ AB = AC$ ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) $⇒ AB - NB = AC - MC$

                              $⇔ AN = MN $

$⇒ ΔAMN$ cân tại $A$

$⇔ ∠ ANM + ∠AMN$ $= ∠B + ∠C$

$⇔  2∠ANM = 2∠B$

  $⇒ ∠ANM = ∠B$$

Mà $2$ góc này ở vị trí đồng vị nên $MN // BC$

Giải thích các bước giải:

Xét $\Delta ABM,\Delta ACN$ có:

Chung $\hat A$

$AB=AC$ vì $\Delta ABC$ cân tại $A$

$\widehat{AMB}=\widehat{ANC}=90^o$

$\to\Delta AMB=\Delta ANC$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to AM=AN$

$\to \Delta AMN$ cân tại $A$

Lại có $\Delta ABC$ cân tại $A$

$\to \widehat{ANM}=90^o-\dfrac12\widehat{NAM}=90^o-\dfrac12\widehat{BAC}=\widehat{ABC}$

$\to MN//BC$