Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1. a) Chứng minh $M{{A}^{2}}=MC.MD$

Xét $\Delta MAC$  và  $\Delta MDA$, ta có:

$\widehat{AMD}$ là góc chung

$\widehat{MAC}=\widehat{MDA}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn $\overset\frown{AC}$ )

$\to \Delta MAC\sim \Delta MDA$

$\to \frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MA}$

$\to M{{A}^{2}}=MC.MD$

1. b) Chứng minh $M,A,I,O,B$ cùng thuộc một đường tròn

$\widehat{MAO}=90{}^\circ $ ( Vì $MA$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ )

$\to \Delta MAO$ vuông tại $A$

$\to $$3$ điểm $M,A,O$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $OM$

$\widehat{MBO}=90{}^\circ $ ( Vì $MB$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ )

$\to \Delta MBO$ vuông tại $B$

$\to $$3$ điểm $M,B,O$ cùng thuộc một đường trong đường kính $OM$

$\widehat{MIO}=90{}^\circ $ ( Vì $I$ là trung điểm $CD$, quan hệ đường kính và dây cung )

$\to \Delta MIO$ vuông tại $I$

$\to $$3$ điểm $M,I,O$ cùng thuộc một đường tròn đường kinh $OM$

Vậy $5$ điểm $M,A,I,O,B$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $OM$

1. c) Chứng minh $KI.KO=KB.KA$ ( sửa $KM$ thành $KA$ )

Vì $A,I,O,B$ cùng thuộc một đường tròn ( chứng minh trên )

$\to AIOB$ là tứ giác nội tiếp

$\to \widehat{KIA}=\widehat{KBO}$ ( góc ngoài bằng góc đối trong )

Xét $\Delta KIA$  và  $\Delta KBO$, ta có:

$\widehat{BKO}$ là góc chung

$\widehat{KIA}=\widehat{KBO}$ ( chứng minh trên )

$\to \Delta KIA\sim \Delta KBO$

$\to \frac{KI}{KB}=\frac{KA}{KO}$

$\to KI.KO=KB.KA$