Đáp án:

GTNN của $A$ là $10$, đạt đc khi $x = y = \dfrac{1}{2}$. 

Giải thích các bước giải:

Ta có

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy \leq 1 - 2xy$

và 

$xy \leq \dfrac{(x+y)^2}{4} \leq \dfrac{1}{4}$

Do đó

$A = \dfrac{1}{x^2 + y^2} + \dfrac{2}{xy} \geq \dfrac{1}{1 - 2xy} + \dfrac{2}{xy}$

Lại có

$\dfrac{1}{1 - 2xy} + \dfrac{2}{xy} = \left( \dfrac{2}{xy} + 32xy \right) + \left[ (4-8xy) + \dfrac{1}{1-2xy} \right] -  24xy - 4$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có

$\dfrac{2}{xy} + 32xy \geq 2 \sqrt{\dfrac{2}{xy} . 32xy} = 16$

và

$(4-8xy) + \dfrac{1}{1-2xy} \geq 2 \sqrt{(4-8xy).\dfrac{1}{1-2xy}} = 4$

và

$xy \leq \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow -24xy \geq -24.\dfrac{1}{4} = -6$

Do đó

$A \geq \dfrac{1}{1 - 2xy} + \dfrac{2}{xy} \geq 16 + 4 - 6 - 4 = 10$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 

$\begin{cases} x +y = 1\\ xy = \dfrac{1}{4} \end{cases}$

suy ra $x = y = \dfrac{1}{2}$

Vậy GTNN của $A$ là $10$, đạt đc khi $x = y = \dfrac{1}{2}$.