Giải thích các bước giải:

a.Ta có $CH\perp AB$

            $C\in$ đường tròn đường kính $AB\to AC\perp BC$

$\to \widehat{ACH}=90^o-\widehat{HCB}=\widehat{CBH}=\widehat{CBN}$

Mà $AN$ là phân giác $\widehat{BCH}$ 

$\to \widehat{HCN}=\widehat{BCN}$

$\to \widehat{ACN}=\widehat{ACH}+\widehat{HCN}=\widehat{NBC}+\widehat{NCB}=\widehat{CNA}$

$\to \Delta ACN$ cân tại $A\to AC=NA$

Tương tự $BC=BM$

b.Từ đề bài suy ra:

$\widehat{MCN}=\widehat{MCH}+\widehat{HCN}=\dfrac12\widehat{ACH}+\dfrac12\widehat{HCB}=\dfrac12\widehat{ACB}=45^o=\widehat{JHN}$

$\to CMHJ$ nội tiếp

$\to \widehat{MJC}=\widehat{CHM}=90^o$

$\to MJ\perp CN$

Tương tự $NI\perp CM$

$\to \widehat{MIN}=\widehat{MJN}=90^o$

$\to MNJI$ nội tiếp

Lại có $MJ\perp NC, NI\perp CM, CH\perp MN$

$\to MJ, NI, CH$ đồng quy

c.Ta có:

$MH\cdot MN=MI\cdot MC$

$\to MN=\dfrac{MI\cdot MC}{MH}$

$AM=AC, CM=CB$

$\to MN=AN=AM=AC-AM=BM-BN=BC-BN$

$\to 2MN=AC-AM+BC-BN=AC+BC-(AM+BN)$

$\to 2MN=(AC+BC-(AB-MN))$

$\to 2MN=AC+BC-AB+MN$

$\to MN=AC+BC-2R$

$\to MN\le \sqrt{2(AC^2+BC^2)}-2R$

$\to MN\le \sqrt{2AB^2}-2R$

$\to MN\le \sqrt{2(2R)^2}-2R$

$\to MN\le 2R(\sqrt{2}-1)$

Dấu = xảy ra khi $CA=CB\to C$ nằm giữa cung $AB$

$\to S_{CMN}=\dfrac12CH\cdot MN$

$\to S_{CMN}\le \dfrac12CO\cdot 2R(\sqrt{2}-1)$

$\to S_{CMN}\le \dfrac12R\cdot 2R(\sqrt{2}-1)$

$\to S_{CMN}\le R^2(\sqrt{2}-1)$

Dấu = xảy ra khi $C$ nằm giữa cung $AB$