Đáp án + Giải thích các bước giải:

a, Vì `ΔABC` cân tại `A` `-> \hat{ABC} = \hat{ACB}` và `AB = AC` 

Vì `BM` // `AC` `-> \hat{ACB} = \hat{MBC}`  (so le trong)

Do đó, `\hat{ABC} = \hat{MBC}`

Gọi `G` là giao của `AM` và `BC`

Xét `ΔABG` và `ΔMBG`, ta có:

`AB = BM` (do `AB = AC` và `AC = BM`)

`\hat{ABC} = \hat{MBC}` (cmt)

chung `BG`

`-> ΔABG = ΔMBG` `(c . g . c)`

`-> \hat{AGB} = \hat{MGB}` (2 góc tương ứng)

`-> \hat{MGB} = 90^0`

`-> AM ⊥ BC`  (đpcm)

b, Vì `ΔABG = ΔMBG` (câu `a`) `-> AG = MG` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔABG` và `ΔACG`, ta có:

`AB = AC`

`\hat{ABC} = \hat{ACG}`

`\hat{AGB} = \hat{AGC} = 90^0`

`-> ΔABG = ΔACG` (ch - gn)

`-> BG = CG` (2 cạnh tương ứng)

(Hoặc bạn xem đoạn chứng minh trên là 1 định lý không cần chứng minh cũng được).

Xét `ΔAGB` và `ΔMGC`, ta có:

`AG = MG` (cmt)

`\hat{AGB} = =\hat{MGC}` (đối đỉnh)

`BG = CG` (cmt)

`-> ΔAGB = ΔMGC` `(c.g.c)`

`-> AB = MC` (2 cạnh tương ứng)

Mà `AB = BM` (câu `a`)

`-> MC = BM`

`-> ΔMBC` cân tại `M`  (đpcm)

c, Ta có: `BG = GC = (BC)/2 = 8/2 = 4` `cm`

Vì `ΔBGM` vuông tại `G` nên áp dụng định lí Pi-ta-go ta có: `BM^2 = BG^2 + GM^2`

`-> 10^2 = 4^2 + GM^2`

`-> 100 = 16 + GM^2`

`-> GM^2 = 84`

`-> GM = 2\sqrt{21}`          (1)

Vì `ΔAGB` vuông tại `G` nên áp dụng định lí Pi-ta-go ta có: `AB^2 = BG^2 + AG^2`

`-> 10^2 = 4^2 + AG^2`

`-> 100 = 16 + AG^2`

`-> AG^2 = 84`

`-> AG = 2\sqrt{21}`           (2)

Từ (1), (2) `-> AM = AG + GM = 2\sqrt{21} + 2\sqrt{21} = 4\sqrt{21}` `(cm)`

Vậy `AM = 4\sqrt{21}cm`

Gọi `H` là giao của `AM` và `BC`

a) Ta có $AC//BM$`→\hat{CAH}=\hat{BMH}` (2 góc so le trong) `(1)`

`ΔABC` cân tại `A→AB=AC`

mà `BM=AC→BM=AB`

`→ΔABM` cân tại `B→\hat{BAH}=\hat{BMH}(2)`

Từ `(1)` và `(2)→\hat{BAH}=\hat{CAH}`

Xét `ΔAHB` và `ΔAHC` có:

`AB=AC(cmt)`

`AH` chung

`\hat{BAH}=\hat{CAH}`

`→ΔAHB=ΔAHC(c.g.c)`

`→HB=HC`

`→AH` là trung tuyến, `ΔABC` cân tại `A`

`→AH` là đường cao

`→AM⊥BC`

$b)BM//AC→$`\hat{MBC}=\hat{ABC}`

Xét `ΔABC` và `ΔMCB` có:

`BC` chung

`\hat{MBC}=\hat{ABC}`

`MB=AB(=AC)`

`→ΔABC=ΔMCB(c.g.c)`

`→MB=MC`

`→ΔMBC` cân

`c)ΔABC` cân `→AB=AC=10cm`

`BH=HC=(BC)/2=4cm`

Xét `ΔAHC` vuông tại `H`

theo định lí Py-ta-go ta có:

`AH^2+HC^2=AC^2`

`→AH^2=AC^2-HC^2`

`→AH^2=10^2-4^2`

$→AH=2\sqrt{21}cm$

Dễ dàng thấy `AH=1/2 AM→AM=2AH`$→AM=4\sqrt{21}cm$