a)

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$, ta có:

+   $MB=MC$ (vì $AM$ là trung tuyến)

+   $AM$ là cạnh chung

+   $AB=AC$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\to \Delta AMB=\Delta AMC\left( c.c.c \right)$

$\to \widehat{BAM}=\widehat{CAM}$  (hai góc tương ứng)

$\to AM$ là đường phân giác của $\Delta ABC$

b)

Vì $\Delta AMB=\Delta AMC\left( cmt \right)$

$\to \widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180{}^\circ $ (hai góc kề bù)

$\to \widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $

$\to AM\bot BC$

Có $M$ là trung điểm $BC$

$\to BM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{6}{2}=3cm$

Xét $\Delta ABM$ vuông tại $M$

Ta có $A{{B}^{2}}=A{{M}^{2}}+B{{M}^{2}}$ (Định lý Pytago)

$\to A{{M}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}$

$\to A{{M}^{2}}={{5}^{2}}-{{3}^{2}}=16$

$\to AM=4cm$

c)

Xét $\Delta AKM$ vuông tại $K$ và $\Delta AHM$ vuông tại $H$, ta có:

+   $AM$ là cạnh chung

+   $\widehat{KAM}=\widehat{HAM}$ (vì $AM$ là phân giác)

$\to \Delta AKM=\Delta AHM\left( ch-gn \right)$

$\to AK=AH$ và $MK=MH$ (hai cạnh tương ứng)

$\to \Delta AKH$ cân tại $A$

$\to \widehat{AKH}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{BAC}}{2}$

Mà $\widehat{ABC}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{BAC}}{2}$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\to \widehat{AKH}=\widehat{ABC}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Vậy $HK//BC$