Lời giải:

 Gọi `h(x)` `;` `r(x)` lần lượt là thương và dư của phép chia `f(x)` cho 

`g(x)=` $x^{3}$ `+` $x^{2}$ `+x+1`

Vì bậc của đa thức dư `r(x)` luôn nhỏ hơn bậc của đa thức chia `g(x)`

`=>` `r(x)` có dạng $ax^{2}$ `+bx+c`

Ta có : `(`$x^{2}$ `+1)(x+1)`

`=` $x^{3}$ `+` $x^{2}$ `+x+1`

Theo bài ra ta có:

`f(x)` `=` $x^{3}$ `+` $x^{2}$ `+x+1``h(x)` `+` $ax^{2}$ `+bx+c`

`f(x)` `=` `(`$x^{2}$ `+1)(x+1)``h(x)` `+` $ax^{2}$ `+a+bx+c-a`

`f(x)` `=` `(`$x^{2}$ `+1)(x+1)``h(x)`  `+` `a(`$x^{2}$`+1)` `+bx+c-a`

Do `f(x)` chia $x^{2}$ `+1` dư `x+2`

`=>` `bx+c-a` `=` `x+2`

`->` `bx = x` (đồng nhất hệ số)

`->` `c-a = 2` 

`⇔` `b=1`

`⇔` `c=a+2`

Theo định lý Bơ-zu ta có:

Do `f(x)` chia `x+1` dư `5` suy ra `f(-1)` `=` `5`

Thay vào ta có:

`f(-1)` `=` `0` `+a-b+c` `=` `5`

`⇔` `a-1+c` `=5`

`⇔` `a+2+a` `=6`

`⇔` `2a=4`

`->` `a=2`

Thay vào tiếp ta có `c=4`

Suy ra $ax^{2}$ `+bx+c` `=` $2x^{2}$ `+x+4`

Vậy phép chia đa thức `f(x)` cho $x^{3}$ `+` $x^{2}$ `+x+1` dư $2x^{2}$ `+x+4`

Ta có: f(x) chia cho x + 1 dư 5 nên f(-1) = 5

Do bậc của đa thức chia là 3 nên đa thức dư có dạng ax²+bx+c

Theo định nghĩa phép chia của đa thức, ta có: 

f(x) = (x³ + x² + x +  1) Q(x) + ax²+ bx + c = (x+1) (x²+1) Q(x) + a(x²+1) + bx + c -a = (x²+1) [ (x+1)Q(x)+a ] + bx + c - a

Mà f(x) chia x²+1 dư x+2

Nên ta có: b = 1, c - a = 2 và a - b + c = 5 

⇒ a = 2, b = 1, c = 4

⇒ Dư trong phép chia f(x) với x³+ x² + x +1 là: 2x² + x + 4