a) Xét ΔIMC vuông tại I và ΔINC vuông tại I có 

CI chung

MI=NI(gt)

⇒ ΔIMC=ΔINC(hai cạnh góc vuông)

b) Ta có: ΔIMC=ΔINC(cmt)

⇒ Góc BCA= góc ACK

Xét ΔBAC vuông tại A và ΔKAC vuông tại A có 

AC chung

góc BCA=góc KCA (cmt)

⇒ ΔBAC=ΔKAC(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

⇒ CB=CK(hai cạnh tương ứng)

Ta có: MI⊥AC(gt)

AB⊥AC(ΔABC vuông tại A)

⇒ MI//KB(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Xét ΔCKB có:

M là trung điểm của CB(gt)

MN//KB(cmt)

⇒ N là trung điểm của CK (Định lí 1 đường trung bình của tam giác)

c) Ta có: MA=ME(gt)

mà A,M,E thẳng hàng

nên M là trung điểm của AE

Xét tứ giác ABEC có:

M là trung điểm của đường chéo BC(gt)

M là trung điểm của đường chéo AE(cmt)

⇒ ABEC là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

hay AB//EC(Hai cạnh đối trong hình bình hành ABEC)

d) Ta có: ABEC là hình bình hành(cmt)

⇒ AB=EC(Hai cạnh đối trong hình bình hành ABEC)

mà AB=AK(ΔCBA=ΔCKA)

⇒ EC=AK

Ta có: AB//EC(Cmt)

⇒ CE//KA

Xét tứ giác AECK có 

CE//AK(cmt)

CE=AK(cmt)

⇒ AECK là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Xét ΔCAB có 

M là trung điểm của BC(gt)

MI//AB(cmt)

⇒ I là trung điểm của AC(Định lí 1 đường trung bình của tam giác)

Ta có: AECK là hình bình hành(cmt)

⇒ Hai đường chéo AC và EK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)

mà I là trung điểm của AC(cmt)

⇒ I là trung điểm của EK

⇒ E,I,K thẳng hàng(đpcm)

$a)$ Xét `\DeltaIMC` và `\DeltaINC` có:
`IN=IM` (gt)
`\hat{MIC}=\hat{NIC} (=90^0)`
`IC`: cạnh chung
`=>` `\DeltaIMC=\DeltaINC` (c.g.c)
Vậy `\DeltaIMC=\DeltaINC`.
$b)$ Theo phần a: `\Delta IMC=\Delta INC`

`=> \hat{C_1}=\hat{C_2}` (2 góc tương ứng); `MC=NC` (2 cạnh tương ứng) `(1)`

Xét `\Delta BAC` và `\Delta KAC` có:

`\hat{C_1}=\hat{C_2}` (cmt)

`AC`: cạnh chung

`\hat{BAC}=\hat{KAC} (=90^o)`

`=> `\Delta BAC` = `\Delta KAC (g.c.g)`

`=> CB=CK` (2 cạnh tương ứng)

Ta có:

$+)$ `MB+MC=CB`

$+)$ `NK+NC=CK`

Mà `MC=NC; CB=CK`

Ta có: `MB=MC` (`M` là trung điểm của `BC`)

Mà `MC=NC (2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=> NK=NC`

Mà `K` nằm giữa `K` và `C`

`=> N` là trung điểm của `CK`

Vậy CB=CK`; N` là trung điểm của `CK`.

$c)$ Xét `\Delta AMB` và `\Delta EMC` có:

`MB=MC` (`M` là trung điểm của `BC`)

`\hat{AMB}=\hat{EMC}` (2 góc đối đỉnh)

`MA=ME` (gt)

`=> \Delta AMB=\Delta EMC (c.g.c)`

`=> \hat{ABM}=\hat{MCE}`

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

`=> AB` // `CE`

Vậy `AB` // `CE`