$\begin{array}{l}a)\\\text{Vì N là trung điểm của BC}\\\text{=>BN=CN}\\\text{Xét ΔBMN và ΔCPN có:}\\MN=PN(gt)\\\widehat{MNB}=\widehat{PNC} \text{(2 góc đối đỉnh)}\\=>ΔBMN=ΔCPN(c.g.c)\\=>\widehat{M}=\widehat{P}\text{(2 góc tương ứng)}\\\text{Mà } \widehat{M} \text{và} \widehat{P} \text{ ở vị trí so le trong}\\=>MB//PC \quad hay\quad CP//AB(ĐPCM)\\b)\\\text{Vì ΔBMN = ΔCPN(thep phần a)}\\=>MB=CP\text{(2 cạnh tương ứng)(ĐPCM)}\\c)\\\text{Nối BP }\\\text{Xét ΔMBP và ΔCPB có:}\\\text{BP:cạnh chung}\\\text{BM=CP(ΔBMN=ΔCPN=>BM=CP(2 cạnh tương ứng)}\\\widehat{MBP}=\widehat{CPB}\text{(2 góc so le trong)}\\=>ΔMBP=ΔCPB(c.g.c)\\=>MP=BC\text{(2 cạnh tương ứng)}\\\text{Lại có:}\\\text{BN=CN(c.m.t)}\\\text{MN=PN(gt)}\\=>BC+CN=BC=MN.2\\=>BC=2MN\end{array}$

$Xét$ $tam$ $giác$ $ANM$ $và$ $tam$ $giác$ $CNP$ $có$ :

$AN$ = $CN$ ( $vì N là trung điểm của AC$ )

$∠ANM$ = $∠CNP$ ( $đối đỉnh$ )

$NM$ = $NP$

=> Δ $ANM$ = Δ $CNP$ ( $c.g.c$ )

=>  ∠ $A$ = ∠ $NCP$

$mà$ $chúng$ $là$ $2$ $góc$ $so$ $le$ $trong$ => $CP$ // $AB$

 $theo$  Δ $ANM$ = Δ $CNP$

=> $AM$ = $CP$

$Mà$ $AM$ = $MB$ ( $vì M là trung điểm của AB$ )

=> $CP$ = $MB$

 $Vì$ $M$ $là$ $trung$ $điểm$ $của$ $AB$ , $N$ $là$ $trung$ $điểm$ $của$ $AC$ => $MN$ $là$ $đường$ $trung$ $bình$ $của$ $tam$ $giác$ $ABC$

=> $BC$ = $2MN$