Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là $x$ (giờ, x > 0)
và thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là $y$ (giờ y > 0)
⇒ Một giờ vòi thứ nhất chảy một mình được $\dfrac{1}{x}$ (bể)

    Một giờ vòi thứ hai chảy một mình được $\dfrac{1}{y}$ (bể)

Một giờ cả hai vòi chảy được $\dfrac{1}{6}$ (bể)

Do đó: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6}$ (1)

Hai giờ cả hai vòi chảy được $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ (bể)
12 giờ vòi thứ hai chảy một mình được $\dfrac{12}{y}$ (bể)
Theo bài ra ta có:

     $\dfrac{1}{3} + \dfrac{12}{y} = 1$ (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có hệ:

\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6} \\ \dfrac{1}{3} + \dfrac{12}{y} = 1 \\\end{cases}

Đặt $\dfrac{1}{x} = u (u > 0)$ và $\dfrac{1}{y} = v (v > 0)$ ta được hệ mới 

\begin{cases} u + v  = \dfrac{1}{6} \\ \dfrac{1}{3} + 12v = 1 \\\end{cases}

⇔ $\begin{cases} u= \dfrac{1}{9} \\ v = \dfrac{1}{18} \\\end{cases} (T/m)$

⇒ $\begin{cases} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{9} \\ \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{18} \\\end{cases} $

⇔ $\begin{cases} x =  9\\ y = 18 \\\end{cases} (T/m)$

Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là $9 h$

 và thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là $18 h$

Đáp án:

 vòi 1 : $9h$

vòi 2: $18h$

Giải thích các bước giải:

 gọi lượng nước chảy được của vòi 1 trong 1 h được x phần bể. (0<x)

lượng nước chảy được của vòi 2 trong 1 h được y phần bể. (0<y)

vì 2 vòi cùng chảy 6 h thì đầy bể nên ta có PT:

        $6x+6y=1$  (1)

vì vòi 1 và 2 chảy 2 h ,sau đó đóng vòi 1 ,mở vòi 2 12 h thì đầy bể nên ta có PT:

       $2x+2y+12y=1⇔2x+14y=1$    (2)

từ (1) ;(2) ta có hệ PT:

$\begin{cases}6x+6y=1\\2x+14y=1\end{cases}$

giải hệ ta được:

$\begin{cases}x=\dfrac{1}{9}\\y=\dfrac{1}{18}\end{cases}$

mỗi vòi chảy riêng đầy bể sau :

vòi 1: $1:\dfrac{1}{9}=9h$

vòi 2: $1:\dfrac{1}{18}=18h$