1. a) 4 điểm $O,E,M,N$ cùng thuộc một đường tròn

$\bullet \,\,\,\,\,NE$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $\widehat{NEO}=90{}^\circ $

$\bullet \,\,\,\Delta NEO$ vuông tại $E$ nên $3$ điểm $N,E,O$ cùng thuộc $1$ đường tròn đường kính $OE$

$\Delta NMO$ vuông tại $M$ nên $3$ điểm $N,M,O$ cùng thuộc $1$ đường tròn đường kính $OE$

$\to O,E,M,N$ cùng thuộc $1$ đường tròn với đường kính là cạnh $OE$.

1. b) $N{{E}^{2}}=NC.NB$

$\bullet \,\,\,\,\,$Xét  $\Delta NEC$ và $\Delta NBE$ có:

$\widehat{ENB}$ là góc chung

$\widehat{NEC}=\widehat{NBE}$ ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến $NE$ và dây cung $EC$ )

$\to \Delta NEC\sim \Delta NBE$

$\to \dfrac{NE}{NC}=\dfrac{NB}{NE}$

$\to N{{E}^{2}}=NB.NC$

1. c) Chứng minh $\widehat{NEH}=\widehat{NME}$

$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$, đường kính $AB$

$\to \Delta ABC$ vuông tại $C$

$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $\Delta NCH$ và $\Delta NMB$ có:

$\widehat{MNB}$ là góc chung

$\widehat{NCH}=\widehat{NMB}=90{}^\circ $

$\to \Delta NCH\sim \Delta NMB$

$\to \dfrac{NC}{NM}=\dfrac{NH}{NB}$

$\to NB.NC=NH.NM$

$\bullet \,\,\,\,\,$Mà $NB.NC=N{{E}^{2}}$ ( chứng minh trên )

$\to N{{E}^{2}}=NH.NM$

$\to \dfrac{NE}{NM}=\dfrac{NH}{NE}$

$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $\Delta NEH$ và $\Delta NME$ có:

$\widehat{ENM}$ là góc chung

$\dfrac{NE}{NM}=\dfrac{NH}{NE}$ ( chứng minh trên )

$\to \Delta NEH=\Delta NME$

$\to \widehat{NEH}=\widehat{NME}$

1. d) $NF$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,$Gọi $S$ là giao điểm  của  $EF$ và $ON$

$\bullet \,\,\,\,\,$Ta có 4 điểm  $O,E,M,N$ cùng thuộc $1$ đường tròn ( chứng minh ở câu a )

$\to OMEN$ là tứ  giác nội tiếp

$\to \widehat{NME}=\widehat{NOE}$ ( cùng chắn $\overset\frown{NE}$

Mà $\widehat{NME}=\widehat{NEH}$ ( chứng minh ở câu c )

$\to \widehat{NOE}=\widehat{NEH}$

$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $\Delta NOE$ và $\Delta NES$ có:

$\widehat{ENO}$ là góc chung

$\widehat{NOE}=\widehat{NEH}$ ( chứng minh trên )

$\to \Delta NOE\sim \Delta NES$

$\to \dfrac{NO}{NE}=\dfrac{NE}{NS}$   và   $\widehat{NEO}=\widehat{NSE}=90{}^\circ $

$\to N{{E}^{2}}=NS.NO$  và  $ON\bot EF$ tại $S$

$\bullet \,\,\,\,\,ON$ vuông góc với dây cung $EF$

$\to ON$ là đường trung trực của $EF$

$\to NE=NF$

Mà $N{{E}^{2}}=NS.NO$

Nên $N{{F}^{2}}=NS.NO$

$\to \dfrac{NF}{NO}=\dfrac{NO}{NS}$

$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $\Delta NFS$  và $\Delta NOF$ có:

$\dfrac{NF}{NO}=\dfrac{NO}{NS}$ ( chứng minh trên )

$\widehat{ONF}$ là góc chung

$\to \Delta NFS\sim \Delta NOF$

$\to \widehat{NSF}=\widehat{NFO}=90{}^\circ $

$\to NF$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$