Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$\bullet \,\,\,\,\,$Trước khi giải, mình xin ghi chú là phương trình Cardano chắc chắn cấp 2 không thể giải được. Bởi vì nó liên quan tới số phức.

$\bullet \,\,\,\,\,$Phương trình Cardano có dạng là : ${{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c=0$

${{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+11x+6=0\,\,\,\,\,\left( a=6\,\,,\,\,b=11\,\,,\,\,c=6 \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Đặt:  $x=t-\frac{a}{3}=t-\frac{6}{3}=t-2$

$\bullet \,\,\,\,\,$Phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành:

${{\left( t-2 \right)}^{3}}+6{{\left( t-2 \right)}^{2}}+11\left( t-2 \right)+6=0$

$\Leftrightarrow {{t}^{3}}-6{{t}^{2}}+12t-8+6\left( {{t}^{2}}-4t+4 \right)+11t-22+6=0$

$\Leftrightarrow {{t}^{3}}-6{{t}^{2}}+12t-8+6{{t}^{2}}-24t+24+11t-22+6=0$

$\Leftrightarrow {{t}^{3}}+\left( -6{{t}^{2}}+6{{t}^{2}} \right)+\left( 12t-24t+11t \right)+\left( -8+24-22+6 \right)=0$

$\Leftrightarrow {{t}^{3}}-t=0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$ ( tới đây thì có thể giải bình thường được rồi. Nhưng vì là giải theo Cardano nên sẽ phức tạp thêm tí )

$\bullet \,\,\,\,\,$Đặt $t=u+v$

Phương trình $\left( 2 \right)$ trở thành:

${{\left( u+v \right)}^{3}}-\left( u+v \right)=0$

$\Leftrightarrow {{u}^{3}}+{{v}^{3}}+3uv\left( u+v \right)-\left( u+v \right)=0$

$\Leftrightarrow {{u}^{3}}+{{v}^{3}}+\left( u+v \right)\left( 3uv-1 \right)=0\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$

Chọn $uv$ sao cho $3uv-1=0\Leftrightarrow uv=\frac{1}{3}\Leftrightarrow {{u}^{3}}{{v}^{3}}=\frac{1}{27}$

Khi $3uv-1=0$ thì phương trình $\left( 3 \right)$ trở thành

${{u}^{3}}+{{v}^{3}}=0$

$\bullet \,\,\,\,\,$Ta có hệ phương trình như sau:

$\begin{cases}u^3+v^3=0\\u^3v^3=\frac{1}{27}\end{cases}$

Theo Vi-et đảo thì ${{u}^{3}},{{v}^{3}}$ là nghiệm của phương trình:

${{X}^{2}}-\left( {{u}^{3}}+{{v}^{3}} \right)+{{u}^{3}}{{v}^{3}}=0$

$\Leftrightarrow {{X}^{2}}+\frac{1}{27}=0$

$\Leftrightarrow {{X}^{2}}=-\frac{1}{27}$

$\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{9}i$ hoặc $x=-\frac{\sqrt{3}}{9}i$

Vì ${{u}^{3}},{{v}^{3}}$ giữ vai trò như nhau nên ta chọn đại:

$\begin{cases}u^3=\frac{\sqrt{3}}{9}i\\v^3=-\frac{\sqrt{3}}{9}i\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}u=-\frac{\sqrt{3}}{3}i\\v=\frac{\sqrt{3}}{3}i\end{cases}$

Vậy phương trình $\left( 3 \right)$ có 3 nghiệm phân biệt như sau:\(\left[ \begin{array}{l}t_1=u+v=0\\t_2=-\frac{1}{2}\left(u+v\right)+i.\frac{\sqrt{3}}{2}\left(u-v\right)=1\\t_3=-\frac{1}{2}\left(u+v\right)-i.\frac{\sqrt{3}}{2}\left(u-v\right)=-1\end{array} \right.\) 

Ban đầu ta đặt $x=t-2$ nên:

\(\left[ \begin{array}{l}x_1=t_1-2=-2\\x_2=t_2-2=-1\\x_3=t_3-2=-3\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm $S=\left\{ -1;-2;-3 \right\}$

Khỏi cần làm theo phương pháp, dùng luôn công thức Cardano cho nhanh nè :3

(Áp dụng với phương trình bậc 3 có 3 nghiệm)

$x = \sqrt[3]{(\dfrac{(-b)^3}{27a^3}+\dfrac{bc}{6a^2}-\dfrac{d}{2a})+  (\dfrac{(-b)^3}{27a^3}+\dfrac{bc}{6a^2}-\dfrac{d}{2a})^2+ ( \dfrac{c}{3a}- \dfrac{b^2}{9a^2})^3}+ \sqrt[3]{(\dfrac{(-b)^3}{27a^3}+\dfrac{bc}{6a^2}-\dfrac{d}{2a})-  [(\dfrac{(-b)^3}{27a^3}+\dfrac{bc}{6a^2}-\dfrac{d}{2a})^2+ ( \dfrac{c}{3a}- \dfrac{b^2}{9a^2})]^3} - \dfrac{b}{3a}$

Áp dụng theo đề bài $a = 1 ; b = 6 ; c = 11 ; d = 6$

$ → x = \sqrt[3]{( \dfrac{(-6)^3}{27}+\dfrac{6*11}{6}-\dfrac{6}{2})+( \dfrac{(-6)^3}{27}+\dfrac{6*11}{6}-\dfrac{6}{2})^2+(\dfrac{11}{3}-\dfrac{6^2}{9})^3}  + \sqrt[3]{( \dfrac{(-6)^3}{27}+\dfrac{6*11}{6}-\dfrac{6}{2})-[( \dfrac{(-6)^3}{27}+\dfrac{6*11}{6}-\dfrac{6}{2})^2+(\dfrac{11}{3}-\dfrac{6^2}{9})]^3}  - \dfrac{6}{3}$ 

$ → x = \sqrt[3]{\dfrac{-1}{27}}+ \sqrt[3]{\dfrac{1}{27}}- 2 = -2$ 

Như vậy , ta được 1 nghiệm $x= -2$

Sử dụng sơ đồ Hoocne :

\begin{array}{|c|c|}\hline &1&6&11&6\\\hline -2 &1&4&3&0\\\hline\end{array}

$ → x^3 + 6x^2 +11x  + 6 = (x+2)(x^2 + 4x +3) = (x+2)(x+1)(x+3)$

$ → \left[ \begin{array}{l}x+2=0\\x+1=0\\x+3=0\end{array} \right.→ \left[ \begin{array}{l}x=-2\\x=-1\\x=-3\end{array} \right.$

Vậy $x ∈ { -1 ; -2 ; -3}$