Đáp án:

a) $MA = 5,625\,\rm cm$

b) $MN= 19\,\rm cm$

Giải thích các bước giải:

a) Ta có:

$\quad \dfrac{MA}{MD}=\dfrac35$

$\Leftrightarrow\dfrac{MA}{MD + MA}=\dfrac{3}{5+3}$

$\Leftrightarrow\dfrac{MA}{AD}=\dfrac38$

$\Leftrightarrow MA =\dfrac38AD$

$\to MA=\dfrac38\cdot 15$

$\to MA = \dfrac{45}{8}=5,625\,\rm cm$

Vậy $M$ là điểm trên cạnh $AD$ sao cho $MA=5,625\,\rm cm$

b) $MN$ cắt $AC$ tại $I$

$\to \begin{cases}MI//AB//CD\\NI//AB//CD\end{cases}$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$+)\quad \dfrac{MI}{CD}=\dfrac{MA}{AD}$

$\to MI=\dfrac{MA}{AD}\cdot CD$

$\to MI =\dfrac{3}{8}\cdot 24 = 9\,\rm cm$

$+)\quad \dfrac{CN}{BC}=\dfrac{NI}{AB}$

$\to NI=\dfrac{CN}{BC}\cdot AB$

$\to NI =\dfrac{MD}{AD}\cdot AB$

$\to NI =\dfrac{5}{8}\cdot 16 = 10\, \rm cm$

Ta được:

$MN = MI + NI = 9 + 10 = 19\,\rm cm$

Ta có: `(MA)/(MD)=3/5` ( gt )

Mà `MD+MA=AD` ( cách vẽ )

`⇒` `(MA)/(AD)=3/8`

`⇒` `MA.8=AD.3`

`⇒` `MA=3:8 AD`

Mà `AD=15cm` ( gt )

`⇒MA=3/8 . 15`

`⇒MA=5,62cm`

`b)` `AC∩MN={E}`

Mà $MN//$ với `2` đáy 

`⇒(ME)/(CD)=(MA)/(AD)` ( định lý Ta-lét )

`⇒ME . AD = DC . MA`

Mà `AD=15cm` ( gt )

      `DC=24cm` ( gt )

      `MA=5,62cm` `(cmt)`

`⇒ME . 15=24 . 5,62`

`⇒ME . 15=134,88`

`⇒ME = 8,9`

Lại có: $MN//$ với `2` đáy ( gt )

`⇒` `(CN)/(BC)=(NE)/(AB)` ( định lý ta-lét )

Mà `(CN)/(BC)=(MD)/(AD)=5/8`

`⇒NE=10cm`

Mà `ME+EN=MN` ( cách vẽ )

`⇒10+8,9=18,9≈19` `(cm)` `(đpcm)`