a,Ta có ΔABC cân ở góc A

=> góc ABC=góc ACB =180(độ)−BAC/2(1)

Ta có BD=CE(gt);AB=AC(gt)

mà AB+BD=AD 

      AC+CE=AE

=> AD=AE

=>ΔADE cân tại A ( Có hai góc bằng nhau)

=>góc ADE= góc AED=$\frac{180độ-gócDAE}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) => góc ABC= góc ADE=góc ACB=góc AED

mà góc ABC và góc ADE ở vị trí đồng vị

=>BC // DE

b)ta có góc ABC= góc MBD (đối đỉnh )

góc ACB= góc NCE( đối đỉnh )

mà Góc ABC=Góc ACB

=> góc MBD= góc NCE

Xét hai tam giác vuông ΔBMD và ΔCNE

               BD=CE (gt)

 góc MBD= góc NCE (cmt)

=>ΔBMD=ΔCNE(Cạnh huyền - Góc nhọn)

=> DM=EN(Hai cạnh tương ứng)

c) Gọi giao điểm của AM và BI là E;giao điểm của AN và CI là F

Vì ΔBMD=ΔCNE(cmt ) =>BM=CN( Hai cạnh tương ứng)

Ta có : Góc ABC= Góc ACB ( gt)

mà Góc ABC + Góc ABM=180 độ ( kề bù)

và Góc ACB+góc ACN= 180 độ ( kề bù)

=>Góc ABM=góc ACN

Xét ΔABM VÀ ΔACN có:

AB=AC(gt)

Góc ABM=Góc ACN(cmt)

BM=CM ( cmt)

=> ΔABM=ΔACN(c−g−c)

=> Góc AMB=Góc ANC (hai góc tương ứng )

=> ΔAMN Cân ở A ( có hai góc bằng nhau) (đpcm)

d.

ta có tam giác AMN cân ở A=> AM=AN( hai cạnh bên) (3)

Xét hai tam giác vuông Tam giác EMB và tam giác FCN có:

Góc EMB=góc FNC (cmt)

MB=CN(cmt)

=> tam giác EMB= tam giác FNC ( cạnh huyền -góc nhọn)

=>EM=FN(hai cạnh tương ứng ) (4)

mà AE+EM=AM

và AF+FN=AN
Từ (3)(4)

=> AE=AF

Xét hai tam giác vuông tam giác AEI và tam giác AFI có

AI cạnh chung

AE=AF(cmt)

=> tam giác AEI = Tam giác AFI (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=>Góc AIE=Góc AIF( góc tương ứng ) (10)

ta có góc EBM+MBD=góc EBD= góc ABI (đối đỉnh)(5)

góc FCN+NCE= Góc FCE= góc ACI( đối đỉnh )(6)

mà góc EBM= góc FCN (cmt)(7)

góc MDB=góc NCE(gt) (8)

từ (5)(6)(7)(8)=> góc ABI = góc ACI (9)

từ (9) (10)=> góc BAI=góc CAI ( tổng 3 góc của một tam giác )
Vậy AI là tia phân giác góc chung 2 góc BAC và CAI