Đáp án:

a) Tứ giác ADHE là hình chữ nhật (do có 3 góc vuông)

=> góc ADE = góc AHE

=> góc ADE = góc ACB (cùng phụ với góc EHC)

=> ΔADE ~ ΔACB (g-g)

$\dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AB}} \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AE}} = \dfrac{{AC}}{{AB}}$

b)

Tam giác vuông DBH có DM là đường trung tuyến

=> DM = BM = HM = BH/2

=> góc MDB = góc B

Tam giác HEC vuông tại E có EN là đường trugn tuyến

=> EN = HN = CN = HC/2

=> góc NEH = góc NHE

=> góc NEH = góc B (cùng phụ với góc C)

=> góc MDB = góc NEH

=> góc DMB = góc ENH

=> DM//EN

=> MDEN là hình thang

c) BC = 10cm

=> MN =BC/2=5cm

=> DM + EN = 1/2BC = 5cm

=> diện tích hình thang MDEN là:

$S = \dfrac{1}{2}.5.5 = 25\left( {c{m^2}} \right)$

d) K là giao của AH và DE nên K là trung điểm của DE

=> IK là đường trung bình của hình thang

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow IK = \dfrac{1}{2}.\left( {DM + EN} \right)\\
 = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\left( {BH + CH} \right)\\
 = \dfrac{1}{4}.BC\\
 = \dfrac{1}{4}.10\\
 = 2,5\left( {cm} \right)
\end{array}$