Đáp án:

$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{7}{17}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $MC'\cap BC =\{I\}$

$DI\cap AB =\{K\}$

$\to (MDC')$ cắt hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ bởi thiết diện $MKDC'$

Ta có:

$+)\quad BM = MB'=\dfrac12BB'$

$\to \dfrac{BM}{BB'}=\dfrac12$

$\to \dfrac{BM}{CC'}=\dfrac12$

$+)\quad BB'//CC'$

$\to BM//CC'$

$\to \dfrac{IB}{IC}=\dfrac{BM}{CC'}=\dfrac12$ (Theo định lý $Thales$)

$+)\quad AB//CD$

$\to BK//CD$

$\to \dfrac{BK}{CD}=\dfrac{IB}{IC}=\dfrac12$ (Theo định lý $Thales$)

$\to BK=\dfrac12CD$

$\to BK =\dfrac12AB$

Thể tích $V_1$ của khối đa diện $BKDCC'M$ chứa đỉnh $C$ bao gồm thể tích của khối chóp tứ giác $M.BKDC$ và khối chóp tam giác $M.DCC'$

+) Thể tích khối chóp $M.BKDC$

$\quad V_{M.BKDC}=\dfrac13S_{BKDC}.MB$

$\to V_{M.BKDC}= \dfrac16(BK+CD).BC.MB$

$\to V_{M.BKDC}=\dfrac16\left(\dfrac12AB + CD\right)\cdot BC \cdot \dfrac12BB'$

$\to V_{M.BKDC}=\dfrac16\cdot \dfrac32AB\cdot BC \cdot \dfrac12BB'$

$\to V_{M.BKDC}=\dfrac18AB.BC.BB'$

$\to V_{M.BKDC}= \dfrac18V_{ABCD.A'B'C'D'}$

+) Thể tích khối chóp $M.DCC'$

$\quad V_{M.DCC'}=\dfrac13S_{DCC'}.d(M;(DCC'))$

$\to V_{M.DCC'}=\dfrac13\cdot \dfrac12S_{DCC'D'}.BC$

$\to V_{M.DCC'}= \dfrac16S_{DCC'D'}.BC$

$\to V_{M.DCC'}= \dfrac16V_{ABCD.A'B'C'D'}$

+) Thể tích khối đa diện chứa đỉnh $C$

$\quad V_1 = V_{M.BKDC}+ V_{M.DCC'}$

$\to V_1= \dfrac18V_{ABCD.A'B'C'D'} + \dfrac16V_{ABCD.A'B'C'D'}$

$\to V_1 = \dfrac{7}{24}V_{ABCD.A'B'C'D'}$

$\to V_2 =\dfrac{17}{24}V_{ABCD.A'B'C'D'}$

$\to \dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{7}{17}$