Lời giải:

a) Xét $ΔABE$ và $ΔDCE$ có:

$\left.\begin{array}{l}BE = EC = \dfrac12BC\quad (gt)\\AE = ED = \dfrac12DE\quad (gt)\\\widehat{AEB} = \widehat{DEC}\quad \text{(đối đỉnh)} \end{array}\right\}$

Do đó $ΔABE=ΔDCE\, (c.g.c)$

b) Xét $ΔAEC$ và $ΔDEB$ có:

$\left.\begin{array}{l}BE = EC = \dfrac12BC\quad (gt)\\AE = ED = \dfrac12DE\quad (gt)\\\widehat{AEC} = \widehat{DEB}\quad \text{(đối đỉnh)} \end{array}\right\}$

Do đó $ΔAEC=ΔDEB\, (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{ACE} = \widehat{BEC}$ (hai góc tương ứng)

mà $\widehat{ACE}$ và $\widehat{BEC}$ là hai góc so le trong

nên $AC//BD$

c) Ta có:

$ΔAEC=ΔDEB$ (câu b)

$\Rightarrow AC = BD$ (hai cạnh tương ứng) $(1)$

Xét $ΔACH$ và $ΔKCH$ có:

$\left.\begin{array}{l}\widehat{AHC} = \widehat{KHC} =90^\circ\quad (AH\perp BC)\\AH = HK= \dfrac12AK\quad (gt)\\CH:\,\text{cạnh chung} \end{array}\right\}$

Do đó $ΔACH=ΔKCH\, (c.g.c)$

$\Rightarrow AC = CK$ (hai cạnh tương ứng) $(2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow BD = AC = CK$

d) Xét $ΔAEH$ và $ΔKEH$ có:

$\left.\begin{array}{l}\widehat{AHE} = \widehat{KHE} =90^\circ\quad (AH\perp BC)\\AH = HK= \dfrac12AK\quad (gt)\\EH:\,\text{cạnh chung} \end{array}\right\}$

Do đó $ΔAEH=ΔKEH\, (c.g.c)$

$\Rightarrow EA = EK$ (hai cạnh tương ứng)

Ta lại có: $EA = ED = \dfrac12AD\quad (gt)$

Do đó: $EK = \dfrac12AD$

$\Rightarrow ΔADK$ vuông tại $K$

$\Rightarrow DK\perp AK$

$\Rightarrow DK\perp AH$