Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1. a) Tính $BD,DC,CE$

$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$ nên ta có:

$\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}\to \frac{DC}{AC}=\frac{DB}{AB}$

$\bullet \,\,\,\,\,$Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{DC}{AC}=\frac{DB}{AB}=\frac{DC+DB}{AC+AB}=\frac{BC}{20+12}=\frac{28}{32}=\frac{7}{8}$

$\bullet \,\,\,\,\,\frac{DC}{AC}=\frac{7}{8}\to DC=\frac{7}{8}AC=\frac{7}{8}.20=17,5\left( cm \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,\frac{DB}{AB}=\frac{7}{8}\to DB=\frac{7}{8}AB=\frac{7}{8}.12=10,5\left( cm \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $\Delta ABC$ có $DE//AB$ nên:

$\frac{CD}{CB}=\frac{DE}{AB}$ ( hệ quả của định lý Ta – let  )

$\to DE=\frac{CD.AB}{CB}=\frac{17,5.12}{32}=6,5625\left( cm \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,$Kết luận: Vậy

$\begin{cases}DC=17,5\left(cm\right)\\DB=10,5\left(cm\right)\\DE=6,5625\left(cm\right)\end{cases}$

1. b) Tính ${{S}_{\Delta ABD}},{{S}_{\Delta ADE}},{{S}_{\Delta DCE}}$

Kẻ $AH\bot BC$

Ta có:

${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AH.BC$

$\to 64=\frac{1}{2}.AH.28$

$\to AH=\frac{2.64}{28}=\frac{32}{7}\left( cm \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,{{S}_{\Delta ABD}}=\frac{1}{2}AH.BD=\frac{1}{2}.\frac{32}{7}.10,5=24\left( c{{m}^{2}} \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $\Delta DCE$ và $\Delta BCA$ có:

$\widehat{C}$ chung

$\widehat{CED}=\widehat{CAB}$ ( vì $DE//AB$, hai góc đồng vị )

Nên $\Delta DCE\sim \Delta BCA$ ( g.g )

$\to \frac{{{S}_{\Delta DCE}}}{{{s}_{\Delta BCA}}}={{\left( \frac{CD}{CB} \right)}^{2}}$

$\to {{S}_{\Delta DCE}}={{S}_{\Delta BAC}}.{{\left( \frac{CD}{CB} \right)}^{2}}=64.{{\left( \frac{17,5}{28} \right)}^{2}}=25\left( c{{m}^{2}} \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,$${{S}_{\Delta ACD}}={{S}_{\Delta ABC}}-{{S}_{\Delta ABD}}=64-24=40\left( c{{m}^{2}} \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,$${{S}_{\Delta ADE}}={{S}_{\Delta ACD}}-{{S}_{\Delta DCE}}=40-25=15\left( c{{m}^{2}} \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,$Kết luận: Vậy:

$\begin{cases}S_{\Delta ABD}=24\left(cm^2\right) \\ S_{\Delta DCE}=25\left(cm^2\right)\\ S_{\Delta ADE}=15\left(cm^2\right)\end{cases}$

$\bullet \,\,\,\,$Bài toán này câu b chắc chắn là sai. Bởi vì diện tích của $\Delta ABC$ không thể là $64\left( c{{m}^{2}} \right)$ được. Nếu lên lớp 10 sẽ có 1 công thức tính nhanh về diện tích của một tam giác. Và diện tích của $\Delta ABC$ trong bài toán này phải là $60\sqrt{3}\left( c{{m}^{2}} \right)$.

$\bullet \,\,\,\,\,$Bạn thử hỏi lại thầy cô về câu b này.  Bài này chỉ là cho số sai thôi nhưng làm thì vẫn được và ra kết quả rất đẹp.  Nhưng nó sẽ không đúng và mặt hình học.

Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác $ABC$ ta có:

$\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{12}}{{20}} = \dfrac{3}{5}$

$ \Rightarrow DB = \dfrac{3}{5}DC$

Mà $DB + DC = BC = 28$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{3}{5}DC + DC = 28\\
 \Rightarrow DC = \dfrac{{35}}{2}cm\\
 \Rightarrow DB = \dfrac{{21}}{2}cm
\end{array}$

Lại có:

Áp dung ĐL Thales cho tam giác $ABC$ có $DE//AB;D\in BC;E\in AC$

$\begin{array}{l}
\dfrac{{DE}}{{AB}} = \dfrac{{DC}}{{BC}} = \dfrac{{\dfrac{{35}}{2}}}{{28}} = \dfrac{5}{8}\\
 \Rightarrow DE = \dfrac{5}{8}AB = \dfrac{{15}}{2}cm
\end{array}$

Vậy $DB = \dfrac{{21}}{2}cm;DC = \dfrac{{35}}{2}cm;DE = \dfrac{{15}}{2}cm$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{{\dfrac{{21}}{2}}}{{28}} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow {S_{ABD}} = \dfrac{3}{8}{S_{ABC}} = \dfrac{3}{8}.64 = 24c{m^2}\\
 \Rightarrow {S_{ACD}} = {S_{ABC}} - {S_{ABD}} = 40c{m^2}
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{ACD}}}} = \dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow {S_{ADE}} = \dfrac{3}{8}{S_{ACD}} = \dfrac{3}{8}.40 = 15c{m^2}\\
 \Rightarrow {S_{DCE}} = {S_{ACD}} - {S_{ADE}} = 40 - 15 = 25c{m^2}
\end{array}$

Vậy ${S_{ABD}} = 24c{m^2}$; ${S_{ADE}} = 15c{m^2}$; ${S_{DCE}} = 25c{m^2}$